Topologie

Deformations-Retrakte

Beispiel 1

Die n-Sphäre Sⁿ ist Deformationsretrakt von Rⁿ⁺¹-{0}.

Man erhält eine entsprechende Homotopie H durch H(x,t) = tx/|x| + (1-t)x.

Sei r(x) = x/|x|. Es ist r : X → A eine Retraktion von X = Rⁿ⁺¹-{0} auf A = Sⁿ.
Für jedes x in X liegt die Strecke zwischen x und r(x) ganz in X, wir können demnach die Konvex-Linearkombinationen tr(x)+(1-t)x für 0 ≤ t ≤ 1 innerhalb X bilden.
Für t=0 erhalten wir x, für t=1 erhalten wir r(x), und ist x in A, so ist r(x) = x, also auch tr(x)+(1-t)x = tx+(1-t)x = x.
Also setzen wir H(x,t) = tr(x)+(1-t)x.

Beispiel 2

Auf diese Weise (und unter Verwendung von Beispiel 3) sieht man, dass der gegebene Raum homotopie-äquivalent zur punktierten Summe zweier Kreise ist!

Beispiel 3

Verbindet man zwei Kreise durch eine Strecke, so erhält man einen Raum, der homotopie-äquivalent zu einer Acht ist. Hier die beiden Räume:

Beides sind Deformationsretrakte des gleichen Raums

wie man den folgenden Skizzen entnimmt!

Entsprechend zeigt man: Ist G ein endlicher Graph und sind x, y zwei verschiedene Ecken von G, die durch eine Kante K verbunden sind, so sind die Räume G und G/K homotopie-äquivalent.

Induktiv erhält man demnach: Ein endlicher zusammenhängender Graph ist zur punktierten Summe von endlich vielen Kreisen homotopie-äquivalent.