Eilenberg-MacLane-Räume

Eilenberg, MacLane. Annals of Math.

Definition

Man nennt einen Raum X einen K(π,n)-Raum, falls gilt

• Es ist π_i(X) = 0 falls i ≠ n.
• Es ist π_n(X) = π.

Existenz und Eindeutigkeit

Der Beweis von (1) erfolgt in drei Schritten. Dabei konstruieren wir einen CW-Komplex X entlang seines Gerüsts. Im Schritt 1 konstruieren wir das n-Gerüst Xⁿ, im Schritt 2 das (n+1)-Gerüst Xⁿ⁺¹.

Schritt 1:


Sei n ≥ 1. Sei M eine Indexmenge. Ist n = 1, so sei F die freie Gruppe mit Basis M. Ist n ≥ 2, so sei F die freie abelsche Gruppe mit Basis M. Sei Xn die punktierte Summe von Kopien von Sn mit Indexmenge M. Es gilt: Es ist πi(Xn) = 0 falls i < n Es ist πn(Xn) = F. Beachte: Xn ist ein CW-Komplex mit einer 0-Zelle (= Basispunkt) und sonst nur n-Zellen (indiziert durch M). Ist M eine endliche Menge, so ist also Xn ein endlicher CW-Komplex. Ist M nicht-leer, so ist Xn n-dimensional.

Beweis:

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Schritt 2.

Sei n≥1 und π eine Gruppe. Im Fall n ≥2 sei π abelsch. Es gibt einen CW-Komplex Xn+1, der neben dem Basispunkt nur n-Zellen und (n+1)-Zellen besitzt, mit Es ist πi(Xn) = 0 falls i < n Es ist πn(Xn) = π.

Genauer gilt: Ist n = 1, schreibe G = F/U, wobei F eine freie Gruppe mit Basis M und U ein Normalteiler ist. Der Normalteiler U besitze ein Erzeugendensystem mit Indexmenge N. Ist n ≥ 2, schreibe G = F/U, wobei F eine freie abelsche Gruppe mit Basis M und U eine Untergruppe ist. Die Untergurppe U besitze ein Erzeugendensystem mit Indexmenge N. Insbesondere gilt: Ist F endlich erzeugt und U endlich erzeugt, so ist Xn+1 ein endlicher CW-Komplex.

Beweis: Wähle zu F den in Schritt 1 angegebenen CW-Komplex Xⁿ (also eine punktierte Summe von n-Sphären). Wir erhalten auf diese Weise also einen CW-Komplex Xⁿ mit einer 0-Zellen und sonst nur n-Zellen; diese n-Zellen sind durch M indiziert.

Dann kann man annehmen, dass für Xⁿ⁺¹ gilt

• die n-Zellen von Xⁿ⁺¹ werden durch M indiziert,
• die (n+1)-Zellen von Xⁿ⁺¹ werden durch J indiziert.

  Dies folgt unmittelbar aus dem Satz über das Töten einer Untergruppe einer Homotopiegruppe.

Schritt 3:


Sei n ≥ 1. Sei X ein CW-Komplex. Dann kann man X als Unterkomplex eines CW-Komplexes Y auffassen, mit Xn+1 = Yn+1, sodass gilt: Die Inklusion X → Y induziert Bijektionen πi(X) → πi(Y) für 0 ≤ i ≤ n. πi(Y) = 0 für i > n.

Beweis. Setze X_n+1 = X. Durch Anheften von (n+2)-Zellen an X wollen wir einen Komplex X_n+2 konstruieren mit π_n+1(X_n+2) = 0. Dazu brauchen wir ein Erzeugendensystem {[g_j] | j in N} von π_n+1(X_n+1). Wir verwenden die Abbildungen g_j : Sⁿ⁺¹ → X_n+1 als charakteristische Abbildungen für das Anheften der Zellen. Der Satz über das Töten einer Homotopiegruppe liefert die gewünschte Aussage π_n+1(X_n+2) = 0. Allerdings wollen wir, dass X_n+2 ein CW-Komplex ist, dazu brauchen wir, dass der Rand der neuen Zellen im (n+1)-Gerüst von X_n+1 liegt. Wir verwenden den zellulären Approximationssatz, und ersetzen jede der Abbildungen g_j durch eine zu ihr homotope Abbildung mit Bild im (n+1)-Gerüst von X_n+1.

Induktiv fahren wir fort: Wir konstruieren eine Inklusionskette von CW-Komplexen X_n+t mit t ≥ 1, sodass X_n+t+1 aus X_n+t durch Anheften von (n+t+1)-Zellen entsteht, wobei die charakteristsichen Abbildungen jeweils ins (n+t)-Gerüst von X_n+t abbilden, und sodass gilt:

• π_i(X_n+t) = 0 für n < i < n+t.

Wir haben auf diese Weise eine Inklusionsfolge von CW-Komplexen

X_n+1 → X_n+2 → ... → X_n+t → X_n+t+1 → ... konstruiert. Sei Y die Vereinigung (also der "direkte Limes"). Dann hat Y die gewünschten Eigenschaften.

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Nun zur Eindeutigkeit:

Proposition. Sei X ein CW-Komplex, der ein K(π,n) ist. Sei Xn eine punktierte Summe von n-Sphären. Dann gilt: Ist Y ein belieber topologischer Raum mit πn(Y) = π, und πi(Y) = 0 für i > n, so gibt es eine stetige Abbildung f : X → Y, die einen Isomorphismus der n-ten Homotopiegruppen induziert.

Beweis: Die n-te Homotopiegruppe F von Xⁿ ist für n = 1 eine freie Gruppe, für n ≥ 2 eine freie abelsche Gruppe und F bildet surjektiv auf π ab. Da wir voraussetzen, dass Xⁿ eine punktierte Summe von n-Sphären ist, liefern die kanonischen Inklusionen u_i : Sⁿ → Xⁿ eine Basis von F, und damit ein Erzeugendensystem von π = π_n(X); dabei durchläuft i eine Indexmenge M. Unter dem Isomorphismus π → π_n(Y) erhalten wir Elemente [f_i] in π_n(Y), die π_n(Y) erzeugen. Gegeben sind also Abbildungen f_i : Sⁿ → Y mit i in M. Die Summen-Eigenschaft von Xⁿ zeigt, dass diese Abbildungen f_i zusammen eine Abbildung f : Xⁿ → Y definieren. Und natürlich induziert f für die n-ten Homotopiegruppen die gegebene Surjektion π_n(Xⁿ) = F → π = π_n(Y).

Wir zeigen als nächstes, dass f auf das (n+1)-Gerüst fortgesetzt werden kann. Dies folgt aber unmittelbar aus dem Fortsetzungskriterium für Abbildungen, Sei nämlich e eine (n+1)-Zelle von X, sei π die zugehörige charakteristische Abbildung. Dies ist eine Abbildung Sⁿ → Xⁿ, die in X null-homotop ist, also gehört [φ] zum Kern des Gruppen-Homomorphismus π_n(Xⁿ) = F → π_n(X) = π. Aber dieser Gruppen-Homomorphismus ist nach Konstruktion gerade der von f induzierte Gruppen-Homomorphismus π_n(Xⁿ) = F → π_n(Y) = π. Da unter ihm die Homotopieklasse von φ auf Null abgebildet wird (also gφ null-homotop ist), lässt sich g auf e fortsetzen.

Wir erhalten also eine Abbildung f' : Xⁿ⁺¹ → Y, deren Einschränkung auf Xⁿ unser f ist. Und naürlich kann f' wegen π_t(T) = 0 für t > n auf ganz X fortgesetzt werden, wieder nach dem Fortsetzungskriterium für Abbildungen,

Beweis der Eindeutigkeit. Wir wissen, dass es einen CW-Komplex X gibt, der ein K(π,n) ist, und für den zusätzlich gilt, dass Xⁿ eine punktierte Summe von n-Sphären ist. Sei Y ein weiterer CW-Komplex, der ein K(π,n) ist. Wie die Proposition zeigt, gibt es eine Abbildung f : X → Y, die einen Isomorphismus der n-ten Homotopiegruppen induziert. Trivialerweise induziert aber f einen Isomorphismus auch für alle übrigen Homotopiegruppen (denn die sind ja alle Null). Dies zeigt, dass f eine schwache Homotopie-Äquivalenz ist. Wir wenden den Satz von Whitehead an und sehen, dass f eine Homotopie-Äquivalenz ist.

Dies zeigt, dass jeder CW-Komplex, der ein K(π,n) ist, zu dem von uns konstruierten Raum X homotopie-äquivalent ist. Also gilt die Behauptung.