Noch einmal: CW-Komplexe

Zelluläre Approximation

Definition. Seien X, Y CW-Komplexe. Eine stetige Abbildung f : X → Y heißt zellulär, falls f das n-Gerüst von X in das n-Gerüst von Y abbildet, für jedes n.

Seien f, g : X → Y stetige Abbildungen. Man nennt g eine zelluläre Approximation von f, falls f und g homotop sind und g zellulär ist.

Satz. Seien X, Y CW-Komplexe, sei f : X → Y eine stetige Abbildung. Dann besitzt f eine zelluläre Approximation.
Genauer gilt: Ist X' ein Unterkomplex, und ist f|X' zellulär, so gibt es eine stetige Abbildung g : X → Y mit

g ist zellulär,
g|X' = f|X'
Es gibt eine Homotopie zwischen f und g, die auf X' die Identität ist.

Spanier: Corollary 7.6.18
Stöcker-Zieschang: 4.3.4

Beweis-Idee: Die Konstruktion von g verläuft induktiv, entlang der Gerüste. Ist zum Beispiel f schon zellulär auf X^n-1∪X' so betrachtet man eine n-Zelle e, die nicht zu X' gehört. Die Einschränkung f_e von f auf (die abgeschlossene Zelle) e liegt in einer endlichen Vereinigung e₁,...,e_t von Zellen in Y. Dabei sei e_j eine m_j-Zelle. Ist m_j ≤ n für alle j, so ist nicht zu tun, andernfalls muss man f auf dem Innern von e homotop abändern. Dies geschieht induktiv auf den Zellen e_j, beginnend mit einer Zelle e_j mit m_j maximal.

Ist die induzierte Abbildung e → e_j/∂ nicht surjektiv, so ist alles einfach: es gibt dann einen Punkt x im Innern von e_j, der nicht im Bild von f_e liegt; durch Radikalprojektion innerhalb von e von x auf den Rand erhält man eine Abbildung, die das Innere der Zelle e nicht trifft mit der gewünschten Homotopie-Eigenschaft.
Andernfalls muss man etwas arbeiten, um einen Punkt im Innern von e freizulegen. Dazu wird f_e in einem Bereich, der im Innern von e liegt, simplizial approximiert...

Folgerung: Für jeden CW-Komplex X gilt (dabei bezeichne Xⁿ das n-Gerüst von X):

Die kanonische Abbildung π_i(Xⁿ) → π_i(X) ist bijektiv falls i < n-1.
Die kanonische Abbildung π_n-1(Xⁿ) → π_n-1(X) ist surjektiv

Das Anheften einer Zelle

Satz über das Anheften einer Zelle.. Der Raum X' entstehe aus X durch das Anheften einer n-Zelle, mit charakteristischer Abbildung f : S^n-1 → X. Dann induziert die Inklusion X → X'

einen Isomorphismus π_i(X) → π_i(X') falls i < n-1.

einen Epimorphismus π_n-1(X) → π_n-1(X'). Der Kern K des Epimorphismus π_n-1(X) → π_n-1(X') wird erzeugt (als Untergruppe) von den Elementen [w_n-1(f)] in π_n-1(X) (dabei ist w eine Schleife in X).

Zusätze:

Im Fall n=1 gilt: Der Kern K wird (als Normalteiler) von [f] erzeugt.
Denn es ist [w_n-1(f)] = [w][f][w]^-1, also zu [f] konjugiert.
(Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist ein Normalteiler, enthält also mit einem Element alle seine Konjugierten.)
Man sagt, dass X n-einfach ist, wenn für alle Schleifen W gilt w_n-1 = 1. Ist demnach X (n-1)-einfach, so wird der Kern K von [f] erzeugt. Insbesondere gilt:
Ist X einfach zusammenhängend (also π₁(X) = {1}), so wird der Kern von [f] erzeugt.

Beweisidee: Injektivität für i < n-1 und Surjektivität für i < n zeigt man wie beim Beweis des zellulären Approximationssatzes. Die wesentliche Aussage hier ist die über den Kern im Fall i = n-1. Offensichtlich ist f in X' null-homotop. Betrachte nun im Fall n≥2 ein Element der Form [w_n-1(f)] in π_n-1(X), dabei sei w eine Schleife in X. Da f in X' nullhomotop ist, ist die Abbildung w_n-1(f) homotop zu einer Abbildung S^n-1 → S¹ → X. Aber für n≥2 ist jede Abbildung S^n-1 → S¹ null-homotop.

Es bleibt zu zeigen, dass die angegebenen Elemente reichen, um den Kern (im Fall n=1 als Normalteiler) zu erzeugen. Dies ist nicht ganz einfach.

Siehe Stöcker-Zieschang Satz 5.4.2 für den Fall n=1.

Das Töten von Untergruppen von Homotopiegruppen.

Satz. Sei X ein topologischer Raum. Sei n≥1. Sei U eine normale Untergruppe von π_n(X), die von Elementen f_j mit j in N erzeugt wird. Im Fall n≥2 sei π₁(X) = 0.
Der Raum Y enstehe aus X durch Anheften von (n+1)-Zellen, indiziert durch N, und zwar sei g_j die charakteristische Abbildung für das Anheften der Zelle mit Index j. Dann gilt:
Die Inklusionsabbildung X → Y

induziert einen Isomorphismus π_i(X) → π_i(Y) für i < n,
induziert einen Isomorphismus π_n(X)/U → π_n(Y).

π_i(X) → π_i(Y).

Für jedes j sei Y_l die Vereinigung von X und der j-ten Zelle von Y; Es ist also Y die Vereinigungsmenge dieser Unterkomplexe Y_j.

Der Raum Y_j entsteht aus X durch Anheften einer (n+1)-Zelle mit charakteristischer Abbildung g_j. Nach dem Satz über das Anheften von Zellen induziert die Inklusion X → Y_j unter π_n einen Gruppen-Homormoprhismus, dessen Kern von [f] erzeugt wird. Da die Inklusionsabbildung u : X → Y durch X → Y_j faktorisiert, sehen wir, dass alle Elemente [f] zum Kern der induzierten Abbildung π_n(X) → π_n(Y) gehören.

Sei nun umgekehrt g : Sⁿ → X eine Abbildung, so dass ug nullhomotop ist. Das Bild einer Homotopie Sⁿ×I → Y trifft nur endlich viele Zellen, insbesondere nur endlich viele (n+1)-Zellen, sagen wir mit Index 1,...,t. Es ist nun zu zeigen, dass g in der von g₁,...,g_t erzeugten Untergruppe liegt. HIER FEHLT DER BEWEIS.

Korollar. Sei X ein topologischer Raum. Sei n≥1. Dann gibt es einen Raum Y, der aus X durch Anheften von (n+1)-Zellen entsteht, so dass gilt:

Die Inklusionsabbildung X → Y induziert einen Isomorphismus π_i(X) → π_i(Y) für i < n.
Es ist π_n(Y) = 0.

Zusatz. Besitzt π_n(X) ein Erzeugendensatz u_j mit j in N, so kann man N als Indexmenge der anzuheftenden (n+1)-Zellen nehmen. (Im Fall n = 1 reicht es, dass die Elemente u_j die Gruppe U als Normalteiler erzeugen).

Insbesondere gilt: Ist π_n(X) endlich erzeugt, so kann man annehmen, dass Y aus X durch das Anheften endlich vieler (n+1)-Zellen entsteht.

Gerüstweise Konstruktion von Abbildungen

Fortsetzungskriterium für Abbildungen. Sei φ : Sⁿ → X eine stetige Abbildung. Wir verwenden sie, um an X eine (n+1)-Zelle anzuheften, wir erhalten auf diese Weise den Raum X' .(Es ist also X' der Abbildungskegel von f).
Sei g : X → Y eine stetige Abbildung.
Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

g besitzt eine Fortsetzung auf X'
gφ ist auf Dⁿ⁺¹ fortsetzbar.
gφ ist null-homotop.

ⁿ

ⁿ⁺¹

Sⁿ	→	X
↓		↓
Dⁿ⁺¹	→	X'

Korollar. Sei X ein CW-Komplex, sei Y ein topologischer Raum. Sei n eine natürliche Zahl.

Gilt π_n(Y) = 0, so kann man jede Abbildung Xⁿ → Y auf Xⁿ⁺¹ fortsetzen.
Gilt π_t(Y) = 0 für alle t > n, so kann man jede Abbildung Xⁿ⁺¹ → Y auf ganz X fortsetzen.