Faserungen

Spanier: er nennt eine Serre-Faserung eine schwache Faserung (weak fibration). Homotopiesequenz: siehe 7.2.10.
Stöcker-Zieschang sprechen von Abbildungen mit HLE für CW-Räume.

Definition: Serre-Faserung. Hurewicz-Faserung

Sei X ein topologischer Raum. Eine Abbildung p : E → B hat die Homotopie-Hochhebungs-Eigenschaft für den Raum X, falls es zu jedem kommutativen Diagramm

X	→	E
↓		↓
X×I	→	B

eine Diagonale X×I → E gibt, so dass die beiden entstehenden Dreiecke kommutativ sind; dabei sei die linke Abbildung X → X×I die kanonische Inklusion, die x auf (x,0) abbildet.

(Die untere Abbildung ist eine Homotopie h, gegeben ist eine Hochhebung der Abbildung h₀.)

Besitzt p : E → B die Homotopie-Hochhebungs-Eigenschaft für alle Räume, so nennt man p eine Hurewicz-Faserung. Besitzt p : E → B die Homotopie-Hochhebungs-Eigenschaft zumindest für alle n-Simplizes, so nennt man p eine Serre-Faserung.

Satz. Eine Serre-Faserung besitzt die p : E → B die Homotopie-Hochhebungs-Eigenschaft für alle CW-Komplexe.

Beweis: zum Beispiel Bauer 4.8.3.

Fasern einer Serre-Faserung sind schwach homotopie-äquivalent

Satz. Sei p : E → B eine Serre-Faserung. Seien x₁, x₂ in B. Dann gilt: die Fasern p^-1(x₁) und p^-1(x₂) sind schwach homotopie-äquivalent.

Beweis:

Die lange exakte Homotopie-Sequenz

Satz. Sei p : (E,e₀) → (B,b₀) eine Serre-Faserung mit Faser F.
Dann gibt es eine lange exakte Folge

				...	→
π_n(F,e₀)	→	π_n(E,e₀)	→	π_n(B,b₀)	→
π_n-1(F,e₀)	→	...
		...	→	π₁(B,b₀)	→
π₀(F,e₀)	→	π₀(E,e₀)	→	π₀(B,b₀)

dabei gilt:

die Abbildungen π_n(F,e₀) → π_n(E,e₀) sind durch die Inklusion F → E induziert;
die Abbildung π_n(E,e₀) → π_n(B,b₀) sind durch die kanonische Abbildung E → B induziert,
Die weiteren Abbildungen ∂ : π_n(B,b₀) → π_n(F,e₀) sind folgendermaßen definiert:
XXXX

Bemerkung:

Sei p : (E,e₀) → (B,b₀) eine Serre-Faserung mit Faser F. Dann induziert p einen Isomorphismus π_n(E,F,e₀) → π_n(B,b₀) für alle n ≥ 1.

Siehe zum Beispiel: Spanier 7.2.9.

₀

Lokal-triviale Faserungen sind Serre-Faserungen

Satz. Jede lokal-triviale Faserung ist eine Serre-Faserung.

Beweis:

Jede stetige Abbildung ist homotopie-äquivalent zu einer Hurewicz-Faserung

Satz. Sei f : X → Y eine stetige Abbildung. Dann gibt es eine Hurewicz-Faserung p : E → Y und eine Homotopie-Äquivalenz s : X → E mit f = ps.

Dabei kann man p wie folgt konstruieren: Es sei P(Y) der Raum der Wege w : I → Y, mit der kompakt-offenen Topologie, und E sei der Unterraum von P(Y)× X aller Paare (w,x) mit w(1) = f(x). Die Abbildung p : E → Y sei die Projektion auf die zweite Komponente, und s bilde x auf das Paar (x,w_f(x)) ab, dabei ist w_f(x) der konstante Weg

Beweis:

Wichtige Spezialfälle:

Nimm als f die Einbettung des Basispunkts. Dies zeigt:

Folgerung 1. Zu jedem Raum B gibt es eine Hurewicz-Faserung P → B.
Dabei kann man für P einfach den Raum der punktierten Wege in B nehmen...

Folgerung 2. Zu jedem punktierten Raum X mit π_i(X) = 0 für alle i < n gibt es einen punktierten Raum X/n mit einer Abbildung u : X/n → X, so dass gilt:

π_i(X/n) = 0 für alle i ≤ n,
π_i(u) ist bijektiv für alle i > n.

Man kann voraussetzen, dass die Abbildung u : X/n → X eine Faserung ist, mit Faser K(π,n-1) und π = π_n-1(X).

Im Englischen nennt man X/n manchmal einen "killing space" zu X. Die Schreibweise X/n ist unüblich, erscheint mir aber aussagekräftig zu sein. (Im Buch von Fomenko-Fuchs-Gutenmacher wird dieser Raum mit X|_n bezeichnet - dies erscheint mir eher irreführend zu sein.)

wissen

Zur Abbildung f : X → K(π,n) gibt es eine Faserung p : X' → K(π,n) und eine Homomtopie-Äquivalenz s : X → X' mit f = ps. Sei s' : X' → X zu s homotopie-invers. Sei u' : F → X' die Faser von p. Die gesuchte Abbildung u ist u = s'u' : F → X.

Nun kann man u wiederum durch eine Faserung ersetzen, als Faser erhält man dann ΩK(π,n) = K(π,n-1).

Postnikov-Turm

Satz. Sei X ein CW-Komplex. Der Raum X|ⁿ entstehe aus X durch Anheften von t-Zellen mit t ≥ n+2, sodass alle Homotopiegruppen π_i mit i > n getöten werden. Sei v_n : X → X|ⁿ die Einbettung (wir nennen sie Postnikov-Abbildung) Es gilt:

π_i(v_n) ist ein Isomorphismus für i ≤ n
(denn es werden ja nur t-Zellen mit t ≥ n+2 angeheftet.)
H_i(v_n) ist ein Isomorphismus für i ≤ n
(denn es werden ja nur t-Zellen mit t ≥ n+2 angeheftet.)
Sind v_n-1 : X → X|^n-1 und v_n : X → X|ⁿ derartige Postnikov-Abbildung, so gibt es eine Abbildung p_n : X|ⁿ → X|^n-1 mit p_nv_n = v_n-1
Ersetzen wir p_n durch eine Faserung, so ist die Faser ein Eilenberg-MacLane-Raum K(π_n(X),n). Wir notieren dies folgendermaßen: K(π_n(X),n) → X|ⁿ → X|^n-1

_n-1

^n-1

ⁿ

Den Postnikov-Turm eines einfach-zusammenhängenden CW-Komplexes X erhält man induktiv: ... → X|ⁿ⁺¹ → X|ⁿ → X|^n-1 → ... → X|² zusammen mit den zugehörigen Abbildungen v_n : X → X|ⁿ, die jeweils kommutative Dreiecke liefern.
(Man beachte, dass in diesem Fall X|² ein K(π₂(X),2) ist.)

Die Notation X|ⁿ soll andeuten, dass die Homotopiegruppen bis zur n-ten Homotopiegruppe beibehalten werden (dass es sich also um eine Art "Einschränkung" handelt).