Singuläre Homologie
Definition
Hier nur einige Stichworte:
- Der Kettenkomplex: C•(X).
Wir bezeichnen mit δi(n) die affine Abbildung
Δn-1 → Δn mit
|
δi(n)(ej) =
| ej | für | j < i
|
| ej+1 | j ≥ i.
|
- Setze Hn(X) = Hn(C•(X))
- Reduzierte Homologie: Hnred(X)
Homotopie-Invarianz
Satz. Sind die Abbildungen f,g: X → Y homotop, so gilt
Hn(f) = Hn(g).
Beweis: siehe zum Beispiel Ossa (Satz 5.4.5).
Der Hurewicz-Homomorphismus
Sei X ein topologischer Raum, sei x0 ein Element von X.
Wir bezeichnen mit π(X,x0) die Menge der puntkierten Homotopieklassen
von punktierten Abbildungen (Sn,*) → (X,x0).
Man nennt diese Menge für n ≥ 1 die n-te Homotopiegruppe von
(X,x0) (wir werden später sehen, dass diese Menge
für alle n ≥ 1 wirklich
eine (kanonische) Gruppenstruktur trägt - für n=1
wissen wir dies schon; im Gegensatz zu n=1 ist für n ≥ 2 jede
n-te Homotopiegruppe sogar abelsch!)
Sei nun f: Sn → X eine stetige Abbildung. Wir wollen ihr eine
singuläre n-Kette in X und damit auch eine n-te Homologieklasse
hn(f) zuordnen.
Wir fassen
Sn als Rand des geordneten Standard-n-Simplexes
Δn auf, und wir setzen
hn(f) = Σi (-1)i fδi(n),
wobei δi(n) :
Δn-1 → Δn
die affine Abbildung ist, mit Hilfe dessen auch der Randoperator des
singulären Kettenkomplexes definiert ist
(da wir Sn als Rand von Δn auffassen, ist
f auf den echten Untersimplizes von Δn definiert).
Die Zuordnung h hängt dabei von der Wahl der
Anordnung der Ecken von Δn ab! Wir nennen
hn die (besser: eine)
Hurewicz-Abbildung (wie wir später sehen werden, ist
hn für n > 0 ein Gruppen-Homomorphismus).
Die lange exakte Homologie-Folge
Relative Homologie
Definition:
Relative Homologiegruppen: Hn(X,A) =
Hn(C•(X)/C•(A)).
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Was bedeutet relative Homologie? Hn(X,A) informiert über Zykel in X,
deren Ränder in A liegen,und zwar besteht die Gruppe gerade aus
deren Restklassen modulo Rändern...
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Beispiel: Die Einbettung eines Punkts x0 in X liefert Isomorphismen
Hn(X) = Hn(X,x0) für n > 0
und H0(X)/H0(x0) = H0(X,x0).
[Da die Einbettung H0red(X) →
H0(X) einen Schnitt zur Projektion H0(X) →
H0(X)/H0(x0) liefert, erhalten wir also
auch einen Isomorphismus H0red(X) →
H0(X,x0).]
Satz. Sei A ein Unterraum von X. Dann erhält man eine
lange exakte Sequenz:
| | | | ... | →
|
| Hn(A)
| → | Hn(X)
| → | Hn(X,A) | →
|
| Hn-1(A)
| → | ...
|
|
| ...
| → | H1(X,A) | →
|
| H0(A)
| → | H0(X)
| → | H0(X,A)
| → | 0
|
dabei gilt:
- die Abbildungen Hn(A) → Hn(X) sind
durch die Inklusion A → X
induziert;
- die Abbildung Hn(X) → Hn(X,A)
sind durch die kanonische Abbildung
C•(A) → C•(X)/C•(A)
induziert,
- die Abbildungen Hn(X,A) → Hn-1(A) sind durch
den Randoperator δ gegeben: nach Definition sind die Elemente in
Hn(X,A) Restklassen von Zyklen c in X, deren Rand δc in
A liegt: wir ordnen also der Restklasse von c in Hn(X,A)
die Restklasse von δc in
Hn(A) zu (zu zeigen ist, dass dies wohldefiniert ist...).
Die lange exakte Homologie-Folge, reduziert:
Nur die letzte Zeile, die mit Index 0,
ändert sich:
Korollar. Ist A ein zusammenziehbarer Unterraum von X, so ist
Hn(X,A) = Hnred(X)
Warnung: Im allgemeinen stimmt Hn(X,A) nicht mit
Hnred(X/A)
überein! Typisches Beispiel: Sei X der polnische Kreis und A ein zusammenziehbarer Unterraum, sodass X/A homöomorph
zum Einheitskreis ist. Es ist H1red(X/A) =
Hn(X/A) = Z, aber Hn(X,A) = 0.
Die lange exakte Homologie-Sequenz eines Tripels
Dies ist die eigentlich zu betrachtende lange exakte Homologie-Sequenz;
die oben notierte ist ein Spezialfall (hier ist X die leere Menge):
Satz. Sei X < Y < Z ein Tripel topologischer Räume.
Dann gilt:
Wir erhalten eine lange exakte Sequenz
| | | | ... | →
|
| Hn(Y,X)
| → | Hn(Z,X)
| → | Hn(Z,Y) | →
|
| Hn-1(Y,X)
| → | ...
|
Dabei verwenden wir die folgenden Morphismen
- Der jeweils erste Morphismus ist durch die Inklusion
(Y,X) → (Z,X) induziert.
- Der jeweils zweite Morphismus ist durch die Inklusion
(Z,X) → (Z,Y) induziert.
- Der jeweils dritte Morphismus (also der Verbindungsmorphismus)
δ :Hn(Z,Y) → Hn-1(Y,X)
ist durch die
Randabbildung induziert. (Genauer: Nimm die Hintereinanderschaltung des
Verbindungs-Homomorphismus Hn(Z,Y) → Hn-1(Y)
mit der von der Inklusion gegebenen Abbildung
Hn-1(Y) → Hn-1(Y,X).)
Wir betrachten nun eine Unterraumkette W < X < Y < Z. Aus zwei der
langen exakten Homologie-Sequenzen, die man bilden kann, folgt:
Korollar.
- Ist X < Y < Z und Hn(Z,Y) = 0 = Hn+1(Z,Y), so ist
Hn(Z,X) = Hn(Y,X).
- Ist W < X < Y und Hn(X,W) = 0 = Hn-1(X,W), so ist
Hn(Y,W) = Hn(Y,X).
Satz. Sei U < V < W < X eine Kette von Unterräumen.
Sei Hn(V,U) = 0 = Hn(X,W). Dann gilt:
Es ist Hn(X,U) kanonisch isomorph zur Homologie von
| Hn+1(X,W)
| → | Hn(W,V)
| → | Hn-1(V,U)
|
wobei die beiden Abbildungen jeweils durch die Randabbildung induziert sind.
Ausschneidung
Satz. Seien A und Y Unterrräume von X. Die Vereinigung des
Inneren Ao von A und des Inneren Yo von Y sei X.
Dann induziert die Inklusion
(Y,A ∩ Y) → (X,A) Isomorphismen der relativen Homologiegruppen.
Sind A und Y Unterrräume von X, so dass X die Vereinigung
von Ao und Yo ist, so nennt man die Inklusion
(Y,A ∩ Y) → (X,A) eine Ausschneidung.
Was wird hier "ausgeschnitten"? Offensichtlich die Menge Z = X-Y; man vergleicht
also die Homologie des Paares (X,A) mit der von (X-Z,A-Z). Die Bedingung, dass
X die Vereinigung von Ao und Yo ist, wird als
Bedingung an Z in folgende Bedingung übersetzt: Der Abschluss von Z muss im
Inneren von A liegen (denn der Abschluss von Z ist X-Yo).
Ist Z ein beliebiger Unterraum von A, der diese Bedingung nicht erfüllt,
so wird die Inklusion (X-Z,A-Z) → (X,A) im allgemeinen keine Isomorphie
der relativen Homologiegruppen liefern.
Beispiel: Sei X der Kreisring
aller x in R2 mit 1 ≤ |x| ≤ 2,
und sei A der Einheitskreis. Dann ist H1(X,A) = 0, und für Z = A gilt
H1(X-A,A-A) = Z.