Topologie I: Leitfaden 1-u

Unterräume

Sei f: X→ Y stetig. Ist U ein Unterraum von X, so ist auch die Einschränkung f|_U stetig.

Seien X₁ und X₂ Unterräume von X.

Immer gilt (nach Definition): Ist U offen in X, so ist der Durchschnitt von U mit X_i offen in X_i .
Wann gilt die Umkehrung?

Satz 1. Seien X₁ und X₂ Unterräume von X, und X sei die Vereinigung von X₁ und X₂. Sei Y eine Teilmenge von X, und der Durchschnitt von Y mit X₁ und auch mit X₂ sei jeweils offen (in X₁ bzw. in X₂).

Sind X₁ und X₂ beide offen in X, so ist auch Y offen in X. (Dies ist völlig trivial.)
Sind X₁ und X₂ beide abgeschlossen in X, so ist Y offen in X. (Dies ist nicht so trivial und sehr wichtig!)

Beweis von b: Bezeichne den Durchschnitt von Y und X_i mit U_i, i=1,2. Zeige

Da X_i abgeschlossen ist, ist das Komplement von X_i offen, also sind alle vier Mengen rechts offen, demnach ist auch Y offen.

Folgerung: Seien X, Y topologische Räume. Seien X₁ und X₂ abgeschlossene Unterräume von X und X die Vereinigung von X₁ und X₂. Ist f: X → Y eine Abbildung, deren Einschränkungen auf X₁ und auf X₂ stetig sind, so ist f stetig.

Satz 1 besagt, dass man einen Raum X aus abgeschlossenen Unterräumen X₁ und X₂, deren Vereinigung X ist, rekonstruieren kann. Dies lässt sich besser formulieren, wenn man den Begriff des Quotientenraums zur Verfügung hat.