3. Quotienten-Topologie
Sei X ein topologischer Raum und ~ eine Äquivalenzrelation auf
X (genauer: auf der Grundmenge zu X). Sei
X/~ die Menge der Äquivalenzklassen und π: X → X/~ die
kanonische Projektion. (Sie ordnet jedem x in X seine
Äquivalenzklasse [x] = {y| y~x} zu.)
(Zur Erinnerung: Die Menge der Äquivalenzklassen
einer Äquivalenzrelation bildet eine Partition. Umgekehrt
gilt: Ist eine Partition einer Menge M gegeben, so ist dies die
Partition zur Relation "in der gleichen Teilmenge liegen".)
Man versieht X/~ mit der "Quotienten-Topologie": eine Teilmenge U
von X/~ ist nach Definition
genau dann offen, wenn π-1(U) offen in X ist.
(Zu zeigen ist, dass man durch diese Definition wirklich eine Topologie
erhält, dass also die Axiome ... erfüllt sind.)
Natürlich ist die Abbildung π:X → X/~ stetig, und es gilt
π(x) = π(y), falls x ~ y. Die Abbildung π ist eine "universelle Abbildung mit diesen Eigenschaften", denn es gilt:
Universelle Eigenschaft: Ist Y ein topologischer Raum und f: X → Y
eine stetige Abbildung mit f(x) = f(y), falls x ~ y, so gibt es eine und nur
eine stetige Abbildung f': X/~ → Y mit f = f'π.
Beweis: Die Abbildung f' wird durch f'([x]) = f(x) mengentheoretisch definiert. (Etwas anderes bleibt einem gar nicht übrig, wenn f = f'π gelten soll - insofern ist f' auf jeden Fall eindeutig
bestimmt. Man muss sich hier klar machen, dass dieses f' wohldefiniert ist,
aber dies folgt aus der Voraussetzung, dass f auf den einzelnen
Äquivalenzklassen jeweils einen festen Wert annimmt.) Zu zeigen ist nur
die Stetigkeit von f'. Sei also U offen in Y. Zu zeigen ist, dass (f')-1(U) offen in X/~ ist, also dass
π-1(f')-1(U) offen in X ist, aber es ist
π-1(f')-1(U) = f-1(U). Nun setzen wir aber
voraus, dass f stetig ist...
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Wo tauchen Äquivalenzrelationen auf? (Oder gleichbedeutend: Wo arbeitet man mit Partitionen?)
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| - Operiert eine Gruppe G auf X, so liefern die
G-Bahnen eine Partition von X.
- Jede "Blätterung" von X ist eine Partition.
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Erste Beispiele:
Fasersumme (=Pushout)
Seien stetige Abbildungen f1: A → X1 und
f2: A → X2 gegeben. Auf der Summe
von X1 und X2 betrachte die
Äquivalenzrelation ~, die durch f1(a) ~
f2(a) (mit a in A) erzeugt wird. Dann erhält man ein
kommutatives Diagramm
mit folgender universellen Eigenschaft:
Sind stetige Abbildungen g1: X1 → Z und
f2: X2 → Z mit
g1f1 =
g2f2 gegeben, so gibt es eine und nur eine
stetige Abbildung g mit g1 = gf'1 und
g2 = gf'2.
Man nennt dieses Quadrat (oder auch den Raum Y) die
Fasersumme von f1: A → X1 und
f2: A → X2. (Bemerkung: Eine Fasersumme
ist gerade ein Pushout in der Kategorie der topologischen
Räume!)
Endliche Simplizialkomplexe
Ein endlicher Simplizialkomplex ist von der Form K = (K,S), dabei ist
K eine endliche Menge und S eine Menge von Teilmengen von K, so dass folgende
Bedingungen erfüllt sind (Man nennt die Elemente von S die gegebenen
Simplizes, ist U ein Element von S und ist m die Kardinalität von U, so nennt man U ein (m-1)-Simplex.):
- Ist x Element von K, so ist {x} in S (Man nennt die Elemente von K auch
die Ecken des Simplizialkomplexes.)
- Ist U in S und U' eine Teilmenge von U, so ist auch U' in S.
Geometrische Realisierung |K| von (K,S): Wir können annehmen, dass
K die Menge {1,2,...,m} der natürlichen Zahlen zwischen 1 und m ist.
Betrachte den Rm mit der Standard-Basis
e1,...,em. Für jedes Simplex U in S sei |U| die konvexe Hülle der
Basisvektoren ei mit i in {1,...,m} und |K| sei die Vereinigung dieser
Teilmengen |U| mit U in S.
Siehe: Konstruktion kompakter Flächen
