Homotopie-Gruppen
(Stichworte)
Definition:
Die Addition: Verwende das Zusammenziehen des Äquators.
Warnungen, zum Minuszeichen
Wir betrachten eine Abbildung f : Sn → Sn.
- Fassen wir Sn wie üblich als Teilmenge des
Rn+1 auf, so können wir -f oder besser -ef
mit (-ef)(x) = -(f(x))
bilden (das letzte Minuszeichen ist bezieht sich auf die Vektorraumstruktur
des Rn+1. Es gilt:
[-ef] = (-1)n+1[f].
(Ist etwa n+1 gerade, so sind die Abbildung 1 und -1 homotop zueinander
- so ist für n=1 die Abbildung -1 die Punktspiegelung der Ebene, also
die Drehung um 180o, und eine jede Drehung ist homotop zur
Identität. Insbesondere gilt also:
Für n ungerade ist -[1] in der Homotopiegruppe verschieden von [-1].)
- Nun fassen wir Sn als Quotientenraum
Wn/∂Wn auf, wobei wir den Würfel
Wn als Produkt von n Kopien des Intervalls [-1,1] schreiben.
Auch hier können wir -f oder besser -wf
mit (-wf)(x) = -(f(x))
bilden (das letzte Minuszeichen ist bezieht sich auf die Vektorraumstruktur
des Rn. Es gilt:
[-wf] = (-1)n[f].
- Ein zusätzlicher Effekt: Da die Komposition von Abbildungen
nicht
immer distributiv ist, so kann das Multiplizieren einer Abbildung
f : Sm → Sn mit einer Selbstabbildung
g : Sn → Sn
vom Grad -1 durchaus gleich f (und nicht etwa gleich -f)
sein.
Typisches
Beispiel: Betrachte die Hopf-Abbildung η :
S3 → S2. Es gilt für jede Selbstabbildung
g : S2 → S2
[g][η] = (deg g)2 [η].
|
Für n ≥ 2 gilt: Ist p eine Überlagerung, so induziert
p einen Isomorphismus der n-ten Homotopiegruppen.
Folgerung: Die höheren Homotopiegruppen der 1-Sphäre sind
trivial.
Warnung: Homotopiegruppen ganz einfacher Räume brauchen nicht
endlich erzeugt sein. Beispiel: π2(S1 v S2)
ist freie abelsche Gruppe mit abzälbarem Rang.
Beweis: Die universelle Überlagerung von X = S1 v S2
ist homotopie-äquivalent zur punktierten Summe abzählbar vieler
Kopien der S2. und es
gilt ganz allgemein:
Satz: Ist p':(Y,y) → (X,x) eine Überlagerung, so induziert p
einen Isomorphismus der Homotopie-Gruppen πn mit n ≥ 2.
Beweis: Überlagerungstheorie! Verwende, dass Sn
einfach-zusammenhängend ist.
Relative Homotopiegruppen
Sei A ein Unterraum von X. Wir definieren πn(X,A,*) für
n ≥ 1 auf folgende Weise: Betrachte den n-dimensionalen Würfel In, seinen Rand δIn und dessen Unterraum
Jn = (δIn-1×I)∪(In-1×1)
Wir denken uns also In als In-1×I;
im Fall n = 2 handelt es sich um folgende Räume:
Es sei πn(X,A,*) die Menge der Homotopieklassen von
Abbildungen (In,δIn,Jn) →
(X,A,*), wobei auch die Homotopien die Tripelstruktur erhalten sollen, es sind also
Abbildungen
(In×I,δIn×I,Jn×I) →
(X,A,*).
Satz. Es gibt eine lange exakte Folge
| | | | ... | →
|
| πn(A,*)
| → | πn(X,*)
| → | πn(X,A,*) | →
|
| πn-1(A)
| → | ...
|
dabei ist die Abbildung πn(A,*) → πn(X,*)
durch die Inklusion induziert.
Zur Definition der übrigen Abbildungen und zum Beweis der
Exaktheit sei zum Beispiel auf das Buch von tom Dieck verwiesen.
Die Rolle des Basispunkts. Und:
Die Operation der Fundamentalgruppe π1 auf den
Homotopiegruppen πn
Für jeden Weg w von x1 nach x0 erhalten wir einen
Gruppen-Homomorphismus
wn :
πn(X,x0) →
πn(X,x1)
auf folgende Weise:
Sei e0 Basispunkt von Sn. Die Einbettung von {e0}
in Sn ist eine Kofaserung, also ist
SnvI Deformationsretrakt von Sn×I. Sei
r:Sn×I → SnvI Retraktion.
Definiere
μn : Sn → SnvI durch
μn(x) = r(x,1).
Unter dieser Abbildung μn wird e0 auf
(e0,1) abgebildet:
(So eine Abbildung μn kann man natürlich auch anders
konstruieren: Man ziehe einen Großkreis zu einem Punkt zusammen, man
erhält auf diese Weise
die punktierte Summe zweier n-Sphären und projiziere nun
eine dieser n-Sphären auf das Einheitsintervall.)
Sei φ : (Sn,e0) → (X,x0).
Das Bild von [φ] unter wn sei die Homotopieklasse
der Abbildung (φ,w-1)μn
Sn → SnvI → X
(auf Sn×{0} nimmt man also die Abbildung φ, sie
bildet (e0,0) auf x0 ab; auf {e0}×I nimmt man
den Weg w-1 von x0 nach x1).
Im Fall n=1 ist w1([α]) = [w][α][w]-1,
für α : (S1,x0) →
(S1,x0).
Sei nun w ein geschlossener Weg (also x0 = x1). Dann gilt:
- wn ist ein Automorphismus der Gruppe
πn(X,x0).
- Im Fall n=1 ist w1([α]) = [w][α][w]-1.