Additivität
Wir betrachten hier die Homotopiekategorie punktierter topologischer
Räume und volle Unterkategorien, zum Beispiel die
Unterkategorie der endlichen CW-Komplexe, aber auch andere Kategorien,
die ähnlich definiert sind, wie die zugehörigen stabilen
Homotopiekategorien.
Wir fragen, ob es sich hierbei um
additive Kategorien handelt. Zu thematisieren sind drei Dinge:
- Wann ist [X,Y] (die Menge der Homotopieklassen punktierter
stetiger Abbildungen) für jedes Objekt-Paar X, Y
"in natürlicher Weise" eine abelsche Gruppe?
- Gelten die beiden Distributivgesetze (ist also die Komposition
links-additiv und rechts-additiv)?
- Gibt es Koprodukte? Gibt es ein Produkte? Und stimmen sie
überein?
Es stellt sich heraus, dass zumindest
die stabile Homotopiekategorie der endlichen CW-Komplexe
gute Eigenschaften hat.
Insbesondere ist die stabile Endomorphismenmenge der Sphären
nicht nur ein graduierter Ring ist, sondern dieser graduierte Ring ist sogar
graduiert-kommutativ.
H-Räume
Ein punktierter topologischer Raum Y heißt H-Raum,
falls es eine steteige Abbildung μ : Y×X → Y gibt, so dass
für die Inklusionen ui : Y → Y×Y mit
u1(y) = (y,*), u2(y) = (*,y) gilt: Die Kompositionen
μui sind homotop zur Identität ιY.
Ist X ein H-Raum, so besitzt für jeden punktierten topologischen Raum X
die Menge Hom(X,Y) der stetigen Abbildungen eine innere
Verknüpfung +, die folgendermaßen definiert ist:
(f1+f2)(x) = μ(f1(x),f2(x))
mit folgenden Eigenschaften:
(0) Sind f1, f1', f2, f2'
Abbildungen X → Y und sind einerseits f1, f1' homotop,
andererseits auch f2, f2 homotop, so ist
f1+f2 zu f1+f1' homotop.
Die Operation + liefert also eine entsprechende Operation + auf der
Menge der Homotopieklassen.
(1) Die Abbildungen f+* und *+f sind homotop zu f,
für jedes f : X → Y.
(2) Ist g : X' → X stetig, so gilt für alle f1,f2:
X → Y
(f1+f1)g = f1g + f1g
(also Links-Additivität).
H'-Räume
Alles, was bisher gesagt wurde, ist zu "dualisieren".
Beispiele:
- Jede Einhängung ist ein H'-Raum.
- Jeder Schleifenraum ist ein H-Raum.
[X,Y] mit X H'-Raum, Y H-Raum
|
Satz. Ist X ein H'-Raum, Y ein H-Raum, so sind die beiden auf diese Weise
auf [X,Y]
definierten Verknüpfungen gleich und diese
Verknüpfung ist assoziativ und kommutativ.
|
Warnung. Die volle Unterkategorie S
der endlichen punktierten Summen
Sphären Sn
mit ≥1 (als Unterkategorie der Homotopiekategorie der punktierten Räme) hat folgende
Eigenschaften:
- Die Homomorphismenmengen sind abelsche Gruppen
- Die Komposition ist rechts-additiv, d.h.: es gilt
f(g1+g2) = fg1+fg2
- Die punktierte Summe XvY ist Koprodukt.
- Aber: Die Komposition ist nicht immer links-additiv.
- Ist X ein Objekt in S, so ist die Menge der Endomorphismen von X
ein Links-Fastring, aber nicht notwendigerweise ein Ring.
- Die punktierte Summe XvY ist nicht das Produkt von X und Y.
Koprodukte
|
In der Homotopiekategorie der punktierten Räume ist XvY (mit den
Inklusionsabbildungen) Koprodukt.
Gleiches gilt in der zugehörigen stabilen Homotopiekategorie.
|
Beweis: Für beliebige punktierte topologische Räume X, Y, Z
gilt
[XvY,Z] = [X,Z]×[Y,Z].
Und es gilt (für die reduzierte Einhängung):
Σ(XvY) = (ΣX)v(ΣY).
|
Satz. Sind A, B H'-Räume, so ist auch AvB H'-Raum und es gilt
für die kanonischen Inklusionen uA, uB und die
kanonischen Projektionen pA, pB:
uApA+uBpB ist homotop zur
Identität von AvB.
|
Distributivität
Rechts-Additivität:
Sind stetige Abbildungen
α,β : Sn → X und g : X → Y gegeben, so gilt
ohne Einschränkungen:
[g]([α]+[β]) = [g][α] + [g][β],
|
Dies ist einfach eine Umformulierung der Assoziativität der
Komposition:
- [g]([α]+[β]) ist die Homotopieklasse von g((α,β)γn),
- [g][α]+[g][β] ist die Homotopieklasse von (g(α,β))γn.
Links-Additivität:
Satz. Seien stetige Abbildungen
f : X → Y
und α, β ΣY → Z gegeben. Dann gilt
([α]+[β])[Σf] = [α][Σf] + [β][Σf].
|
Beweis:
- ([α]+[β])[Σf] ist die Homotopieklasse von (α,β)γnΣf,
- [α][Σf]+[β][Σf] ist die Homotopieklasse von (α,β)(ΣfvΣf)γn
Also reicht es, wenn wir zeigen: γnΣf =
(ΣfvΣf)γm. Unter beiden Abbildungen
γnΣf und
(ΣfvΣf)γm wird die Äquivalenzklasse des
Paares (x,t) mit x in X und t in I = [0,1] auf die
Äquivalenzklasse von (f(s),2t) (falls 0 ≤ t ≤ 1/2) oder
von (f(s),2t-2) (falls 1/2 ≤ t ≤ 1) abgebildet, siehe
das folgende Bild:
Warnendes Beispiel:
Sei η : S3 → S2
die Hopf-Abbildung. Sei g :
S2 → S2 eine Abbildung vom Grad d. Dann
gilt: gη = d2 η.
Beweis: Siehe Hilton-Wylie, Theorem 9.5.9 (i), zusammen mit
der Tatsache, dass die Hopf-Invariante
γ : [S3,S2] → Z bijektiv ist.
Zum Beispiel erhalten wir für [ι]+[ι] in
[S2,S2]:
([ι]+[ι])η = [ι]η+[ι]η+[ι]η+[ι]η
- und nicht etwa [ι]η+[ι]η), die Komposition ist demnach
im allgemeinen nicht links-additiv!
Wir sehen demnach auch: die Hopf-Abbildung η ist nicht die
Einhängung einer Abbildung! (Aber man weiss ja: alle Abbildungen
S2 → S1 sind nullhomotop).
Der stabile Homotopie-Ring der Sphären
DA FEHLT NOCH VIEL!