Topologie: Serre

Serre-Klassen

Sei F die Klasse der endlich-erzeugten abelschen Gruppen.
Sei P eine Menge von Primzahlen. Sei F_P die Klasse der endlichen abelschen Gruppen, deren Ordnung nur durch Primzahlen in P teilbar ist.
Im folgenden sei C entweder gleich F oder eine der Klassen F_P.

Satz (Serre). Sei X einfach-zusammenhängender Raum.

Die folgenden beiden Aussagen sind äquivalent:
1. Alle Homotopiegruppen liegen in C.
2. Alle reduzierten Homologiegruppen liegen in C
(Allgemeiner Hurewicz-Satz.) Liegen alle Homotopiegruppen von X mit Index < n in C, so liegen Kern und Kokern der Hurewicz-Abbildung h_n : π_n(X,*) → H_n(X) in C.

C ist abgesclossen unter Untergruppen und Faktorgruppen.
C ist abgeschlossen unter Erweiterungen.
C ist abgeschlossen unter Tensorprodukt und unter Tor.

Vorbereitungen für den Beweis:

Lemma 1. Sei F → X → B eine Faserung mit F weg-zusammenhängend und B einfach-zusammenhängend. Gilt für zwei der Räume F, B, X, dass alle reduzierten Homologiegruppen zu C gehören, so gilt dies für alle drei.

universellen Koeffizientensatz

Lemma 2. Für jede Gruppe π in C und n > 0 gilt: Alle reduzierten Homologiegruppen von K(π,n) sind in C.

Da π eine endlich-erzeugte abelsche Gruppe ist, ist π direkte Summe zyklischer Gruppen. Wir betrachten zuerst den Fall einer zyklischen Gruppe.

Ist π = Z, so nimmt man als K(Z,1) die 1-Sphäre S¹.
Alle Homologiegruppen von S¹ sind endlich erzeugt.
Ist π zyklisch mit Ordnung m, so nimmt man als K(π,1) den zugehörigen unendlichen Linsenraum; für dessen reduzierte Homologiegruppen gilt: H_i(K(π,1)) = π falls i ungerade und = 0, falls i gerade.
Hier brauchen wir die Berechnung der Homologie-Gruppen eines unendlichen Linsenraums.

Schließlich ist noch zu zeigen: Sind alle reduzierten Homologiegruppen von K(π₁,1) und K(π₂,1) in C, so gilt dies auch für K(π₁×π₂,1) = K(π₁,1)×K(π₂,1). Dazu verwendet man die Künneth-Formel.

K(π₁,1) → K(π₁,1)×K(π₂,1) → K(π₂,1)

Wir beginnen nun den Beweis des Satzes.

Seien v_n : X → X|ⁿ und v_n-1 : X → X|^n-1 Postnikov-Approximationen mit zugehöriger Homotopie-Faserung

K(π_n(X),n) → X|ⁿ → X|^n-1.

Wir zeigen: (1) impliziert (2):

Zuerst betrachten wir den Spezialfall X = X|ⁿ. Wir zeigen mit Induktion nach n:

Lemma 3.

ⁿ

K(π_n(X),n) → X|ⁿ → X|^n-1.

ⁿ

eweis des allgemeinen Hurewicz-Satzes.

F → Y → B

F = K(π_n(X),n),
Y = X|ⁿ, und
B = X|^n-1.

Wir zeigen: Kern und Kokern der von der Inklusion induzierten Abbildung

H_n(F) → H_n(Y)

(Für 0 < q < n ist H_q(F) = 0, da die Homotopiegruppen von F mit Index < n verschwinden (Hurewicz), also ist auch E²_pq = H_p(B) ⊗ H_q(F) + Tor(H_p-1(B),H_q(F)) = 0).

Die Spektralfolge konvergiert gegen die Homologie von Y; genauer gilt: H_n(Y) hat eine Graduierung mit nur zwei Faktoren, nämlich E^∞_0n und E^∞_n0 und dabei ist E^∞_0n das Bild der kanonischen Abbildung H_n(F) → H_n(Y). (Wir starten mit einer CW-Filtrierung von B mit einer einzigen 0-Zelle, dem Basispunkt *. Die für die Serre'sche Spektralfolge von Y verwendete Filtrierung beginnt dann mit Y₀ = F.) Die beiden Faktoren E^∞_0n und E^∞_n0 von H_n(Y) liefern also eine exakte Folge

0 → E^∞_0n → H_n(Y) → E^∞_n0 → 0.

Es ist E^∞_0n der Kokern des (n+1)-Differentials Eⁿ⁺¹_n+1,0 E²_n+1,0 → Eⁿ⁺¹_0n E²_0n, also einer Abbildung H_n+1(B) → H_n(F). Wir haben daher eine exakte Folge

H_n+1(B) → H_n(F) → E^∞_0n → 0.

Und es ist E^∞_n0 = E²_n0 = H_n(B).

Das Zusammenfügen der beiden exakten Folgen liefert eine exakte Folge

H_n+1(B) → H_n(F) → H_n(Y) → H_n(B)

^∞

_0n

Nun ist aber B = X|^n-1: alle seine Homotopiegruppen gehören zu C. Wie wir wissen, folgt daraus, dass alle reduzierten Homologiegruppen von B zu C gehören. Also gehören Kern und Kokern der kanonischen Abbildung H_n(F) → H_n(Y) zu C.

F		π_n(F)	→	H_n(F)
↓	liefert ein kommutatives Diagramm	↓		↓
Y		π_n(Y)	→	H_n(Y)

Die obere horizontale Abbildung ist ein Isomorphismus (Hurewicz-Satz), die linke vertikale Abbildung ist ein Isomorphismus (nach der langen exakten Homotopiesequenz der Faserung F → Y → B). Also ist die untere hoizontale Abbildung nichts anderes also die rechte vertikale Abbildung.

Noch einmal verwenden wir, dass die Hurewicz-Abbildung eine natürliche Transformation ist:

X π_n(X) → H_n(X)
↓ liefert ein kommutatives Diagramm ↓ ↓
Y π_n(Y) → H_n(Y)
wobei horizontal jeweils wieder die Hurewicz-Abbildung gegeben ist, während die vertikalen Abbildungen durch die Postnikov-Approximationen v_n : X → X|ⁿ induziert sind. Die vertikalen Abbildungen sind aber Isomorphismen.

Dies zeigt, dass Kern und Kokern der Hurewicz-Abbildung

π_n(X) → H_n(X)

Folgerungen.

Sei X einfach-zusammenhängender endlicher Zell-Komplex. Dann gilt:
Alle Homotopiegruppen sind endlich erzeugt.
Insbesondere gilt: Alle Homotopiegruppen, der Sphären sind endlich erzeugt.
Ist π eine endlich-erzeugte Gruppe und n > 0, so gilt: alle Homologiegruppen der Eilenberg-MacLane-Räume K(π,n) sind endlich erzeugt.

Die zweite Aussage (Eilenberg-MacLane-Räume) ist ein Spezialfall von Lemma 2.

Die Voraussetzung, dass es sich um einfach-zusammenhängende Räume handelt, ist wichtig.

Beispiel: Die zweite Homotopiegruppe der punktierten Summe von S¹ und S² ist nicht endlich erzeugt.

Sei F → X → B eine Faser-Sequenz mit F weg-zusammenhängend und B einfach-zusammenhängend. Sei n > 0. Gilt:

H_i(X,Q) = H_i(B,Q) = Q für i = 0, n und
H_i(X,Q) = H_i(B,Q) = 0 sonst.

Dann ist H_i(F,Q) = 0 für alle i > 0.

Beweis: NACHZUTRAGEN Anwendung: Sei n ungerade. Sei

X = Sⁿ und
B = X|ⁿ = K(Z,n).
F = X/n.

Dies zeigt:

Die Homotopiegruppen π_i(Sⁿ) mit n ungerade und i ≠ n sind endlich.

Um eine entsprechende Aussage für n gerade zu erhalten, gibt es zwei Vorgehensweisen:

Man zeigt, dass sich die Homotopiegruppen der S²ⁿ bis auf 2-Torsion aus denen der S^2n-1 und S^4n-1 berechnen lassen:

π_i(S²ⁿ) = π_i-1(S^2n-1) ⊕ π_i(S^4n-1) (bis aus 2-Torsion)
Oder aber man führt einen analogen Beweis wie den für n ungerade, dann aber bezüglich Kohomologie, statt Homologie...

X		π_n(X)	→	H_n(X)
↓	liefert ein kommutatives Diagramm	↓		↓
Y		π_n(Y)	→	H_n(Y)