Zahlen: Negative Zahlen

Negative Zahlen

Die Unvermeidbarkeit des Arbeitens mit negativen Zahlen

Im Schulunterricht:

Sachunterricht der Grundschule
Einführung der negativen Zahlen: Bisher in Klasse 7.
In Zukunft wohl schon in Klasse 5 oder 6 (zumindest in NRW)

In der Praxis:

Thermometer
Vertikales Messen:
- Höhe über / unter dem Meeresspiegel
- Fahrstuhl.
Vor allem aber: Geld (Schulden)

Die Scheu vor negativen Zahlen

Und entsprechend merkwürdige Notationen:

Fahrstuhl
- ETH Zürich: 4, 3, 2, 1, 0, A, B, C, D
- Uni Bielefeld: 4, 3, 2, 1, 0, 01, 02
Excel erlaubt, ganz verschiedene Symbole zu verwenden (zum Beispiel für Geld)
- Das Minuszeichen ("wie es sich gehört")
- Die Farbe Rot (steht für Schulden)
- Den Buchstaben S (und H steht dann statt +)
- Die Zahl wird eingeklammert
  (Warum denn das? - an Schulden will man gar nicht erst erinnert werden)

Das unproblematische Rechnen mit negativen Zahlen

Addition positiv + negativ, negativ + positiv, negativ + negativ
(alles sollte einsichtig sein).

Aber Hinweis:

Statt zu Subtrahieren, addieren wir die negative Zahl.
d.h.: der Term 5-2 ist immer zu interpretieren als 5+(-2).

Das heißt: Wir haben auf diese Weise mehr Zahlen zur Verfügung, und brauchen weniger Rechenoperationen!
Früher: die vier bürgerlichen Rechenarten +,-,×, /,
Jetzt: Addtition und Multiplikation, sonst nichts.
Rechenregeln: einfacher. Assoziativität, Kommutativität.
Dies sind einfache Rechenregeln - Rechenregeln für die Subtraktion sind nicht so einfach zu notieren!

Also: Kontozettel:

Stand 50 EUR
1.Zahlungs-Eingang + 10 EUR
2.Zahlungs-Eingang + 10 EUR
Bezahlung einer Rechnung - 30 EUR

Neuer Kontostand 40 EUR

Multiplikation: positiv × negativ (z.B. 5 mal der gleiche Schuldenbetrag)
Auch dies sollte unproblematisch sein.

Probleme:

Multiplikation negativ × positiv.
Multiplikation negativ × negativ.

Die wichtige Regel:

Ist p eine natürliche Zahl und z eine beliebige ganze Zahl, so gilt (-p) × z = - (p × z).

Um dies zu verstehen, muss man sich klarmachen, was es heißt, etwas -2 mal, oder -5 mal zu tun. Hier handelt es sich zuerst einmal um eine Art "Rückgängig-Machen". Hat man 8-mal den gleichen Geldbetrag gezahlt, wollte aber nur 6-mal bezahlen, so ist der Betrag noch (-2)-mal zu zahlen...

Beispiele

Rückbuchung von Belastungen
Beispiel: Wenn ich füf Monate pro Monat 100 EUR als Zulage erhalte, so erhalte ich 5 × 100.
Wenn mir aber nur für drei Monate die Zulage zusteht, so wird sie mir 2 mal abgezogen. Genauer: Auf dem Konto wird (-2) × 100 addiert.
Erstattung von Dosen-Pfand.

Das entscheidende Distributivgesetz:

0 × z = 0
Also: (p + (-p)) × z = p × z + (-p) × z,
also p × z + (-p) × z = 0,
also (-p) × z = - (p × z).

Das Hankel'sche Permanenz-Prinzip

Hier sollte etwas über das Hankel'sche Permanenz-Prinzip stehen!

Vorzeichen und Betrag

Hier sollte noch etwas über die Bedeutung des Vorzeichens stehen - oder allgemeiner: über die Bedeutung der Multiplikation mit -1.

Rückgängig-Machen,
Richtungsänderung.

Stand		50 EUR
1.Zahlungs-Eingang	+	10 EUR
2.Zahlungs-Eingang	+	10 EUR
Bezahlung einer Rechnung	-	30 EUR

Neuer Kontostand		40 EUR