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02.11.2020- 12.02.2021
Mi 10-12 und Fr 12-14 per Zoom
Die Vorlesungen werden per Zoom durchgeführt, der Link
dazu
wird durch E-Mail verschickt.
Es wird empfohlen, Zoom im Voraus zu installieren.
Der Text
der nächsten beiden Vorlesungen
und Hausaufgaben
wird jede Woche Montags auf diese Seite hochgeladen.
Vorlesungsskript
Axiome
von reellen Zahlen
Das Ergebnis für
Hausaufgaben wird als
A/M berechnet, wobei A die Anzahl von Zahlpunkten für alle Hausaufgaben
ist
(aus den Übungsblättern mit Abgabetermin) und
M der maximale Wert von Zahlpunkten ist.
Die mit * bezeichneten Aufgaben (=zusätzliche Aufgaben) werden
in A berücksichtigt, aber nicht in M.
Die Gruppenabgaben sind nicht erlaubt.
1. Mengen und reelle Zahlen
Grundbegriffe der Mengenlehre. Mengenoperationen. Formeln von De
Morgan.
Abbildungen. Komposition von Abbildungen. Inverse Abbildung.
Axiomensystem von reellen Zahlen. Unmittelbare Folgerungen aus den Axiomen.
Intervalle. Supremum und Infimum. Quadratwurzel.
2. Ganze Zahlen und vollständige Induktion
Natürliche Zahlen. Vollständige Induktion (Induktionsprinzip). Endliche
Folgen, Summen und Produkte.
Ganze Zahlen. Archimedisches Prinzip.
Binomischer Lehrsatz. Rationale Zahlen. Endliche Mengen, Kardinalität,
Schubfachprinzip.
Kardinalzahlen unendlicher Mengen.
Abzählbare und Überabzählbare Mengen.
*Zahlensystem: q-adische Darstellung natürlicher Zahlen.
*Alternative Konstruktion von
R.
3. Komplexe Zahlen
Die Menge von komplexen Zahlen. Addition und Multiplikation komplexer Zahlen.
Konjugation und Betrag. Division
komplexer Zahlen.
Funktionen und ihre Graphen.
*Begriff von Winkel und
Geometrie der Ebene.
4. Folgen und Grenzwerte
Konvergenz von Folgen und Grenzwert (Limes). Rechenregeln für den Grenzwert.
Monotoniekriterium für Existenz des Grenzwertes.
Intervallschachtelungsprinzip
und Überdeckungssatz.
Teilfolgen und Satz von Bolzano-Weierstraß.
Cauchy-Kriterium von Konvergenz.
Limes superior und Limes inferior. Komplexwertige Folgen.
5. Reihen
Konvergenz von Reihen. Nichtnegative Reihen. Geometrische Reihe. Zahlensystem:
q-adische Brüche.
Komplexwertige Reihen. Allgemeine Konvergenzkriterien.
Majorantenkriterium.
Absolute Konvergenz. Quotientenkriterium.
Bedingte Konvergenz und Leibniz-Kriterium.
*Zahlensystem:
q-adische Darstellung der reellen Zahlen. *Cauchy-Produkt zweier Reihen.
*Kommutativ und Assoziativgesetze für die Reihen.
*Existenz und Eindeutigkeit von R.
6. Exponentialfunktion
Exponentialfunktion als die Summe der Exponentialreihe. Die Zahl e.
Alternative Definition der Exponentialfunktion. Haupteigenschaft der Exponentialfunktion und Folgerungen.
Hyperbelfunktionen. Trigonometrische Funktionen. Eulerformel. Additionstheoreme.
*Alternativer Beweis der Haupteigenschaft.
7. Stetige Funktionen
Grenzwert einer Funktion. Beziehung zur Grenzwert von Folgen. Rechenregeln für
Limes. Limes einer zusammengesetzten Funktion.
Stetigkeit von Funktionen. Eigenschaften von stetigen Funktionen: Zwischenwertsatz, Extremwertsatz.
Monotone Funktionen.
Existenz der inversen Funktion. Die n-te Wurzel. Natürlicher Logarithmus.
Exponentialfunktion
und Logarismus zur
positiven Basis.
Die Zahl π und die Nullstellen von Sinus und Kosinus. Inverse trigonometrische Funktionen.
Trigonometrische Form komplexer Zahlen. Polarkoordinaten.
*Numerische
Berechnung von π.
8. Differentialrechnung
Begriff von Ableitung. Ableitungen von elementaren Funktionen. Tangente und
Geschwindigkeit.
Rechenregeln für Ableitungen, Leibnizregel, Kettenregel.
Ableitung der inversen Funktion.
Sätze von Fermat, Rolle und Lagrange (Mittelwertsatz).
Kritische Punkte einer Funktion. Konstantentest und Monotonietest.
Unbestimmte Ausdrücke und Regel von l'Hôspital. Landau-Symbol und Differential.
Zweite
Ableitung. Taylorformeln 2er Ordnung mit der Restgliedform nach Peano und
Lagrange.
Lokale Extrema, notwendige und hinreichende Bedingungen.
Konvexe und Konkave
Funktionen. Test für Konvexität/Konkavität mit Hife von zweiter
Ableituing.
Untersuchung einer Funktion mit Hilfe von Ableitungen und Skizzieren des
Graphes.
Vergleichstest und Ungleichungen.
und viele andere ...