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Analysis  I  WS 2020/21

02.11.2020- 12.02.2021 

Klausuren

Die Liste der zugelassenen Studierenden

Die Liste der angemeldeten TeilnehmerInnen 

Klausurtermine (per Zoom)
02.03.2021
10:00-12:00 
07.04.2021 10:00-12:00


Probeklausur Aufgaben

Mindestens 50% von Zahlpunkten für Hausaufgaben und zweimaliges Vorrechnen sind notwendig für Zulassung zur Klausur. 
In der Klausuraufgaben können sowohl alle Themen und Bestandteilen
der Vorlesungen (Axiome, Definitionen, Sätze, Lemmas,
Korollare,  Beweise, Beispiele, Bemerkungen usw) als auch alle Hausaufgaben abgefragt werden,
außer  *-Abschnitte aus dem Vorlesungsskript und *-Aufgaben.

Sprechstunden

Freitags 19.02 und 26.02   12-14  per Zoom

Vorlesungen

Mi 10-12  und  Fr  12-14  per Zoom

Die Vorlesungen werden per Zoom durchgeführt, der Link dazu wird durch E-Mail verschickt.
Es wird empfohlen, Zoom im Voraus zu installieren.
  Der Text der nächsten beiden Vorlesungen 
und
Hausaufgaben wird jede Woche Montags auf diese Seite hochgeladen. 

Vorlesungsskript
Axiome von reellen Zahlen
Vorlesung 2 (von 06.11) mit Notizen
Vorlesung 3 (von 11.11) mit Notizen
Vorlesung 4 (von 13.11) mit Notizen
Vorlesung 5 (von 18.11) mit Notizen
Vorlesung 6 (von 20.11) mit Notizen
Vorlesung 7 (von 25.11) mit Notizen
Vorlesung 8 (von 27.11) mit Notizen
Vorlesung 9 (von 02.12) mit Notizen
Vorlesung 10 (von 04.12) mit Notizen
Vorlesung 11 (von 09.12) mit Notizen
Vorlesung 12 (von 11.12) mit Notizen
Vorlesung 13 (von 16.12) mit Notizen
Vorlesung 14 (von 18.12) mit Notizen
Vorlesung 15 (von 06.01) mit Notizen
Vorlesung 16 (von 08.01) mit Notizen
Vorlesung 17 (von 13.01) mit Notizen
Vorlesung 18 (von 15.01) mit Notizen
Vorlesung 19 (von 20.01) mit Notizen
Vorlesung 20 (von 22.01) mit Notizen
Vorlesung 21 (von 27.01) mit Notizen
Vorlesung 22 (von 29.01) mit Notizen
Vorlesung 23 (von 03.02) mit Notizen
Vorlesung 24 (von 05.02) mit Notizen
Vorlesung 25 (von 10.02) mit Notizen

Vorlesung 26 (von 12.02) mit Notizen

Übungen

Das Ergebnis für Hausaufgaben wird als A/M berechnet, wobei A die Anzahl von Zahlpunkten für alle Hausaufgaben ist 
(aus den Übungsblättern mit Abgabetermin) und M der maximale Wert von Zahlpunkten ist. 
Die mit * bezeichneten Aufgaben (=zusätzliche Aufgaben) werden in A berücksichtigt, aber nicht in M.  
Die Gruppenabgaben sind nicht erlaubt.

Blatt 1 Abgabe 13.11.2020
Blatt 2 Abgabe 20.11.2020
Blatt 3 Abgabe 27.11.2020
Blatt 4 Abgabe 04.12.2020
Blatt 5 Abgabe 11.12.2020
Blatt 6 Abgabe 18.12.2020
Blatt 7 Abgabe 08.01.2020
Blatt 8 Abgabe 15.01.2020
Blatt 9 Abgabe 22.01.2020
Blatt 10 Abgabe 29.01.2021
Blatt 11 Abgabe 05.02.2021

Inhaltsverzeichnis

1. Mengen und reelle Zahlen
Grundbegriffe der Mengenlehre. Mengenoperationen. Formeln von De Morgan.  
Abbildungen. Komposition von Abbildungen. Inverse Abbildung. 
Axiomensystem von reellen Zahlen. Unmittelbare Folgerungen aus den Axiomen. 
Intervalle. Supremum und Infimum.  Quadratwurzel.

2. Ganze Zahlen und vollständige Induktion
Natürliche Zahlen. Vollständige Induktion (Induktionsprinzip). Endliche Folgen, Summen und Produkte.  
Ganze Zahlen. Archimedisches Prinzip. 
Binomischer Lehrsatz. Rationale Zahlen. Endliche Mengen, Kardinalität, Schubfachprinzip. 
Kardinalzahlen unendlicher Mengen. Abzählbare und Überabzählbare Mengen. 
*Zahlensystem: q-adische Darstellung natürlicher Zahlen.
*Alternative Konstruktion von R.

3. Komplexe Zahlen
Die Menge von komplexen Zahlen. Addition und Multiplikation komplexer Zahlen. 
Konjugation und Betrag. Division komplexer Zahlen. 
Funktionen und ihre Graphen. 
*Begriff von Winkel und Geometrie der Ebene. 

4. Folgen und Grenzwerte
Konvergenz von Folgen und Grenzwert (Limes). Rechenregeln für den Grenzwert. 
Monotoniekriterium für Existenz des Grenzwertes. 
Intervallschachtelungsprinzip und Überdeckungssatz. 
Teilfolgen und Satz von Bolzano-Weierstraß. 
Cauchy-Kriterium von Konvergenz. 
Limes superior und Limes inferior. Komplexwertige Folgen.

5. Reihen
Konvergenz von Reihen. Nichtnegative Reihen. Geometrische Reihe. Zahlensystem: q-adische Brüche. 
Komplexwertige Reihen. Allgemeine Konvergenzkriterien. Majorantenkriterium. 
Absolute Konvergenz. Quotientenkriterium. 
Bedingte Konvergenz und Leibniz-Kriterium. 
*Zahlensystem: q-adische Darstellung der reellen Zahlen. *Cauchy-Produkt zweier Reihen. 
*Kommutativ und Assoziativgesetze für die Reihen.  *Existenz und Eindeutigkeit von R

6. Exponentialfunktion
Exponentialfunktion als die Summe der Exponentialreihe. Die Zahl e
Alternative Definition der Exponentialfunktion. Haupteigenschaft der Exponentialfunktion und Folgerungen. 
Hyperbelfunktionen. Trigonometrische Funktionen. Eulerformel. Additionstheoreme.
 *Alternativer Beweis der Haupteigenschaft.

7. Stetige Funktionen 
Grenzwert einer Funktion. Beziehung zur Grenzwert von Folgen. Rechenregeln f
ür Limes. Limes einer zusammengesetzten Funktion.
Stetigkeit von Funktionen. Eigenschaften von stetigen Funktionen: Zwischenwertsatz, Extremwertsatz. 
Monotone Funktionen. Existenz der inversen Funktion. Die n-te Wurzel. Natürlicher Logarithmus. 
Exponentialfunktion und Logarismus zur positiven Basis. 
Die Zahl π und die Nullstellen von Sinus und Kosinus. Inverse trigonometrische Funktionen. 
Trigonometrische Form  komplexer Zahlen. Polarkoordinaten. 
*Numerische Berechnung von π.

8. Differentialrechnung
Begriff von Ableitung. Ableitungen von elementaren Funktionen. Tangente und Geschwindigkeit. 
Rechenregeln für Ableitungen, Leibnizregel, Kettenregel. Ableitung der inversen Funktion. 
Sätze von Fermat, Rolle und Lagrange (Mittelwertsatz). 
Kritische Punkte einer Funktion. Konstantentest und Monotonietest. 
Unbestimmte Ausdrücke und Regel von l'Hôspital. Landau-Symbol und Differential.
Zweite Ableitung. Taylorformeln 2er Ordnung mit der Restgliedform nach Peano und Lagrange. 
Lokale Extrema, notwendige und hinreichende Bedingungen.  
Konvexe und Konkave Funktionen. Test für Konvexität/Konkavität mit Hife von zweiter Ableituing. 

Untersuchung einer Funktion mit Hilfe von Ableitungen und Skizzieren des Graphes.  
Vergleichstest und Ungleichungen. 

Lehrbücher der Analysis

  1. H. Amann, J. Escher, Analysis I. Birkhäuser
  2. Ch. Blatter Analysis I. Springer-Verlag.
  3. Th. Bröcker Analysis I. Spectrum Akademischer Verlag.
  4. K. Endl & W. Luh  Analysis I. Eine integrierte Darstellung. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main.
  5. O. Forster, Analysis I. Verlag Vieweg.
  6. H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1. Vieweg+Teubner
  7. S. Hildebrandt, Analysis 1. Springer
  8. Theo de Jong, Analysis. Pearson
  9. S. Lang, Analysis. Vol. 1. Addison-Wesley.
  10. F. Modler, M. Kreh, Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1. Spektrum
  11. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass Analysis 1. Pearson.  
  12. V.A. Zorich Analysis I. Springer-Verlag.

und viele andere ...