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Analysis  II  SS 2021

Fortsetzung von Analysis I

12.04.2021 -  23.07.2021

Vorlesungen

Mi  10-12      Fr  12-14  per Zoom

Die Vorlesungen werden per Zoom durchgeführt, der Link dazu wird durch E-Mail verschickt.
Es wird empfohlen, Zoom im Voraus zu installieren.  Der Text der nächsten beiden Vorlesungen 
und Hausaufgaben wird jede Woche Montags auf diese Seite hochgeladen. 

Vorlesungsskript

Zusammenfassung:
Grundintegrale
Rechenregeln für unbestimmte Integration
Riemann- und Darboux-Integrierbarkeit

Übungen

Die Gruppenabgaben sind nicht erlaubt.
Das Ergebnis für Hausaufgaben wird als A/M berechnet, wobei A die Anzahl von Zahlpunkten für alle Hausaufgaben ist 
(aus den Übungsblättern mit Abgabetermin) und M der maximale Wert von Zahlpunkten ist. 
Die mit * bezeichneten Aufgaben (=zusätzliche Aufgaben) werden in A berücksichtigt, aber nicht in M.  

Inhaltsverzeichnis

(Die Kapitel 1-8 sind in Analysis I)

9. Differentialrechnung: höhere Ableitungen.
Taylorformeln n-er Ordnung mit der Restgliedform nach Peano und Lagrange. 

10. Integralrechnung: unbestimmtes Integral.
Stammfunktion und unbestimmtes Integral. Unbestimmte Konstante bei Stammfunktion. Grundintegrale.
Linearität der Integration. Partielle Integration. Substitutionsregel für unbestimmtes Integral.  
Integrieren von rationalen Funktionen mit Hilfe von Partialbruchzerlegung.

11. Integralrechnung: bestimmtes Integral. 
Riemann-Summen und Riemann-Integral. Obere und untere Darboux-Summen. Kriterien von Riemann-Integrierbarkeit. 
Intergierbarkeit von stetigen und monotonen Funktionen. Flächeninhalt eines Untergraphes. 
Fundamentalsatz der Analysis: Newton-Leibniz-Formel.  Linearität, Partielle Integration und Additivität für Riemann-Integral. 
Ungleichungen und Integration. Mittelwertsatz für Integration. 
Fundamentalsatz der Analysis: Existenz der Stammfunktion für stetige Funktionen. 
Substitutionsregel für Riemann-Integral. Taylorformel mit Integralrestglied.
Parametrisierte Kurve in Rn. Die Länge von Kurve. Unabhängigkeit der Länge von Parametrisierung. 
*Wallis-Produkt. *Stirling-Formel.

12. Konvergenz von Integralen.
Uneigentliches Riemann-Integral. Die Newton-Leibniz-Formel, partielle Integration, Substitutionsregel für uneigentliche Integrale. 
Integralkriterium für Konvergenz von Reihen.  Absolute und bedingte Konvergenz von Integralen. 
Majoranten- und Vergleichskriterien für absolute Konvergenz.  Abel- und Dirichlet-Kriterien für bedingte Konvergenz. 
Gammafunktion. Dirichlet-Integral. 
*Alternative Definition von Elementarfunktionen. 

13. Konvergenz von Funktionenreihen.
Funktionenfolgen und Funktionenreihen. Gleichmäßige Konvergenz. Weierstraßsches Majorantenkriterium für gleichmäßige Konvergenz. 
Konvergenz von Potenzreihen, Konvergenzradius. Formel von Cauchy-Hadamard. Satz von Abel. 
Integrieren und Ableiten unter gleichmäßiger Konvergenz. Integrieren und Ableiten von den Potenzreihen. 
Taylorreihe. Binomische Reihe.
Sätze von der majorisierten und monotonen Konvergenz. Gauss-Integral. Approximationssatz von Weierstraß. 
*Fourier Reihen.

14. Metrische Räume und stetige Abbildungen.
Abstandsfunktion und Begriff von metrischem Raum. Normierte Vektorräumen. 
Hölder-Ungleichung und Minkowski-Ungleichung. Normen in Rn. 
 Metrische Kugel. Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen. Stetige Abbildungen.  
Offene und abgeschlossene Mengen. Begriff von Topologie.
Stetige Urbilder offener und abgeschlossener Mengen. Cauchy-Folgen. Vollständige metrische Räume. 
Vollständigkeit von Rn  und C[a,b]. Fixpunktsatz von Banach. Offene Überdeckungen und kompakte Mengen. 
Stetige Bilder kompaker Mengen. Folgenkompaktheit. Totalbeschränktheit. 
Äquivalente Bedingungen für Kompaktheit im vollständigen metrischen Raum. Kompakte Mengen in Rn.   
Extremwertsatz. Fundamentalsatz der Algebra. Zusammenhängende Mengen. Zwischenwertsatz.
*Vervollständigung von metrischen Räumen. *p-adische Zahlen. *Lebesgue-integrierbare Funktionen

15. Differentialrechnung in Rn. 
Partielle Ableitungen. Totaler Differential. Jacobi-Matrix. Stetige Differenzierbarkeit. 
Linearität und Kettenregel für totale und partielle Ableitungen. Ableitung der inversen Funktion. 
Richtungsableitung und Mittelwertsatz. Partielle Ableitungen höherer Ordnung. Satz von Schwarz. 
Taylorformel. Hesse-Matrix. Notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Extrema. 
Satz von der impliziten Funktion. Satz von der inversen Funktion. 
Parameterintegral. 

16. Flächen in Rn .
Parametrische Gleichung einer Fläche.  Graphen als Flächen. 
Tangentialebene. Implizite Flächen.  

17*. Verschiedenes.
Holomorphe und harmonische Funktionen. 
Kurvenintegral und Windungszahl. 
Alternative Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra. 
Fixpunktsatz von Brouwer. 
Das Komplement einer abgeschlossenen Kurve.

Lehrbücher der Analysis

  1. H. Amann, J. Escher, Analysis 2. Birkhäuser
  2. Ch. Blatter Analysis. Bd I,II,III. Springer-Verlag.
  3. Th. Bröcker Analysis. Bd I,II,III. Spectrum Akademischer Verlag.
  4. K. Endl & W. Luh  Analysis. Bd. I,II. Eine integrierte Darstellung. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main.
  5. O. Forster, Analysis. Bd. I,II,III. Verlag Vieweg.
  6. H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2. Vieweg+Teubner
  7. S. Hildebrandt, Analysis 2. Springer
  8. Theo de Jong, Analysis. Pearson
  9. Terence Tao Analysis 1 and 2, Hindustan Book Agency
  10. S. Lang, Analysis. Vol. 1,2. Addison-Wesley.
  11. F. Modler, M. Kreh, Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2. Spektrum
  12. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass Analysis 2. Pearson.  
  13. V.A. Zorich Analysis I-II. Springer-Verlag.

und viele andere ...