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Analysis  II  WS 2018-19   240007

Fortsetzung von Analysis I

08.10.2018 -  01.02.2019

Vorlesungen

Mi  10-12  H10       Fr  12-14  H13

Vorlesungsskript
Zusammenfassung (nur Definitionen und Aussagen)
Tabelle von Funktionen, Ableitungen und Integralen

Übungen

Abgabe von Hausaufgaben an die Tutoren erfolgt Donnerstags bis 16:00. Die Lösungen von Hausaufgaben müssen handgeschrieben sein. Gruppenabgaben sind nicht erlaubt. 
 Mindestens 50% von Zahlpunkten für Hausaufgaben und zweimaliges Vorrechnen sind notwendig für Zulassung zur Klausur.

Das Ergebnis für Hausaufgaben wird als A/M berechnet, wobei A die Anzahl von Zahlpunkten für alle Hausaufgaben ist (aus den Übungsblättern mit Abgabetermin) und M der maximale Wert von Zahlpunkten ist. Die mit * bezeichneten Aufgaben (=zusätzliche Aufgaben) werden in A berücksichtigt, aber nicht in M.  

Inhaltsverzeichnis

(Die Kapitel 1-8 sind in Analysis I)

9. Differentialrechnung: höhere Ableitungen
Taylorformeln n-er Ordnung mit der Restgliedform nach Peano und Lagrange. 

10. Integralrechnung: unbestimmtes Integral 
Stammfunktion und unbestimmtes Integral. Unbestimmte Konstante bei Stammfunktion. Linearität der Integration. Partielle Integration. Substitutionsregel für unbestimmtes Integral. Grundintegrale. Integrieren von rationalen Funktionen mit Hilfe von Partialbruchzerlegung.  

11. Integralrechnung: bestimmtes Integral 
Riemann-Summen und Riemann-Integral. Obere und untere Darboux-Summen. Kriterien von Riemann-Integrierbarkeit. Intergierbarkeit von stetigen und monotonen Funktionen. Flächeninhalt eines Untergraphes. Fundamentalsatz der Analysis: Newton-Leibniz-Formel. Partielle Integration, Linearität und Additivität für Riemann-Integral. Ungleichungen und Integration. Mittelwertsatz für Integration. Existenz der Stammfunktion für stetige Funktionen. Substitutionsregel für Riemann-Integral. Parametrisierte Kurve in Rn. Die Länge von Kurve, Unabhängigkeit von Parametrisierung. 
*Wallis-Produkt. *Stirling-Formel.

12. Konvergenz von Integralen
Uneigentliches Riemann-Integral. Die Newton-Leibniz-Formel, partielle Integration, Substitutionsregel für uneigentliche Integrale. Integralkriterium für Konvergenz von Reihen.  Absolute und bedingte Konvergenz von Integralen. Majoranten- und Vergleichskriterien für absolute Konvergenz.  Abel- und Dirichlet-Kriterien für bedingte Konvergenz. 
*Alternative Definition von Elementarfunktionen. *Gammafunktion. *Dirichlet-Integral.

13. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen
Funktionenfolgen und Funktionenreihen. Gleichmäßige Konvergenz. Weierstraßsches Majorantenkriterium für gleichmäßige Konvergenz. Konvergenz von Potenzreihen, Konvergenzradius. Formel von Cauchy-Hadamard. Satz von Abel. Integrieren und Ableiten unter gleichmäßiger Konvergenz. Integrieren und Ableiten von den Potenzreihen. Taylorformel mit Integralrestglied. Taylorreihe. 
*Sätze von der majorisierten und monotonen Konvergenz. *Gauss-Integral. *Approximationssatz von Weierstraß. *Fourer Reihen.

14. Metrische Räume und stetige Abbildungen
Abstandsfunktion und Begriff von metrischem Raum. Normierte Vektorräumen. Normen in Rn. Metrische Kugel. Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen. Stetige Abbildungen.  Offene und abgeschlossene Mengen. Stetige Urbilder offener und abgeschlossener Mengen. Cauchy-Folgen. Vollständige metrische Räume. Vollständigkeit von Rn  und C[a,b]. Fixpunktsatz von Banach. Offene Überdeckungen und kompakte Mengen. Stetige Bilder kompaker Mengen. Folgenkompaktheit. Totalbeschränktheit. Äquivalente Bedingungen für Kompaktheit im vollständigen metrischen Raum. Kompakte Mengen in Rn.  Extremwertsatz. Fundamentalsatz der Algebra. Zusammenhängende Mengen. Zwischenwertsatz.
*Vervollständigung von metrischen Räumen. *p-adische Zahlen. *Lebesgue-integrierbare Funktionen

15. Differentialrechnung in Rn 
Partielle Ableitungen. Totaler Differential. Jacobi-Matrix. Stetige Differenzierbarkeit. Linearität und Kettenregel für totale und partielle Ableitungen. Ableitung der inversen Funktion. Richtungsableitung und Mittelwertsatz. Partielle Ableitungen höherer Ordnung. Satz von Schwarz. Taylorformel. Hesse-Matrix. Notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Extrema. Satz von der impliziten Funktion. Satz von der inversen Funktion. 
*Parameterintegral. *Holomorphe und harmonische Funktionen. *Kurvenintegral und Windungszahl.

16. *Flächen in Rn 
Parametrische Gleichung einer Fläche.  Graphen als Flächen. Tangentialebene. Implizite Flächen.  

Lehrbücher der Analysis

  1. H. Amann, J. Escher, Analysis 2. Birkhäuser
  2. Ch. Blatter Analysis. Bd I,II,III. Springer-Verlag.
  3. Th. Bröcker Analysis. Bd I,II,III. Spectrum Akademischer Verlag.
  4. K. Endl & W. Luh  Analysis. Bd. I,II. Eine integrierte Darstellung. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main.
  5. O. Forster, Analysis. Bd. I,II,III. Verlag Vieweg.
  6. H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2. Vieweg+Teubner
  7. S. Hildebrandt, Analysis 2. Springer
  8. Theo de Jong, Analysis. Pearson
  9. Terence Tao Analysis 1 and 2, Hindustan Book Agency
  10. S. Lang, Analysis. Vol. 1,2. Addison-Wesley.
  11. F. Modler, M. Kreh, Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2. Spektrum
  12. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass Analysis 2. Pearson.  
  13. V.A. Zorich Analysis I-II. Springer-Verlag.

und viele andere ...