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18.04.2017 - 28.07.2017
Di 08:15-09:45 V2-205
Fr 12:15-14:45
H6
Vorlesungsskript
Axiomensystem von reellen Zahlen
Abgabe von Hausaufgaben an die Tutoren. Gruppenabgaben sind nicht erlaubt.
Das Ergebnis für Hausaufgaben wird als A/M berechnet, wobei A die Anzahl von Zahlpunkten für alle Hausaufgaben ist (aus den Übungsblättern mit Abgabetermin) und M der maximale Wert von Zahlpunkten ist. Die mit * bezeichneten Aufgaben (=zusätzliche Aufgaben) werden in A berücksichtigt, aber nicht in M.
1. Die reellen Zahlen
Mengen und Operationen auf Mengen. Abbildungen. Axiomensystem der Menge R von reellen
Zahlen, insbesondere Vollständigkeitsaxiom. Folgerungen aus den Axiomen. Intervalle. Quadratwurzel und quadratische Gleichungen.
2. Die ganzen Zahlen und vollständige
Induktion
Natürliche Zahlen. Induktionsprinzip. Ganze Zahlen. Maximum und Minimum. Rationale Zahlen. Endliche
Folgen und Mengen. *Alternative Konstruktion von N (Skizze). Zahlensystem: q-adische Darstellung der natürlichen Zahlen.
*Schriftliche Addition und Multiplikation (Skizze). Der
binomische Lehrsatz.
3. Die komplexen Zahlen und die
Ebene
Die Menge C von komplexen Zahlen als die Ebene R2.
Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen. Konjugation und
Betrag. Division von komplexen Zahlen. Winkel und Winkelfunktionen (Kosinus, Sinus, Tangens). Additionstheoreme. Polarkoordinaten.
Funktionen und Graphen. Gerade, Parabel, Hyperbel, Kreis. *Skalarprodukt
und Kreuzprodukt.
4. Folgen und Reihen
Konvergenz von Folgen. Rechenregeln für den Grenzwert. Monotone Folgen und
Monotoniekriterium. Konvergenz von Reihen. Nichtnegative Reihen. Geometrische Reihe. Zahlensystem: q-adische Darstellung der reellen
Zahlen. *Existenz und Eindeutigkeit
von R (Skizze). Cauchy-Folgen und Cauchy-Kriterium. Komplexwertige Folgen und Reihen.
Allgemeine Konvergenzkriterien.
Majorantenkriterium.
Absolute Konvergenz. Bedingte Konvergenz und Leibniz-Kriterium. Quotientenkriterium.
5. Exponentialfunktion
Exponentialfunktion als die Exponentialreihe. Die Zahl
e. Alternative Definition der Exponentialfunktion. Haupteigenschaft der
Exponentialfunktion und Folgerungen. Hyperbelfunktionen. Trigonometrische Funktionen.
Eulerformel. Additionstheoreme.
6. Funktionen einer reellen Variablen
Stetige Funktionen. Stetigkeit und Operationen mit Funktionen. Stetigkeit von
Polynomen, Exponentialfunktion, trigonometrischen Funktionen, usw. Zwischenwertsatz. *Extremwertsatz. Die Zahl
p.
Monotone Funktionen. Inverse Funktion. Satz von der inversen
Funktion. Natürlicher
Logarithmus. Potenzfunktion. Inverse trigonometrische Funktionen. *Bogenmaß. *Nullstellen von Polynomen (Fundamentalsatz
der Algebra).
und viele andere ...