BIREP — Darstellungstheorie endlichdimensionaler Algebren
BIREP header picture 1
BIREP header picture 2
 

Proseminar Quadratische Formen - Sommersemester 2018

Veranstalter: Jan Geuenich
Termine: Montag 14-16, Raum X-E0-208
Vorbesprechung: Freitag 2.2.2018 10:15, Raum V5-227

Eintrag im elektronischen Vorlesungsverzeichnis

Inhalt und Voraussetzungen

Rationale quadratische Formen f sind homogene Polynome vom Grad 2 mit rationalen Koeffizienten wie etwa a1x12 + ··· + anxn2.
Ziel des Seminars ist die Klassifizierung solcher Formen. Das entscheidende Ergebnis ist hier der Satz von Hasse-Minkowski:

Die Gleichung f(x1,...,xn) = 0 ist genau dann nichttrivial mit rationalen Zahlen lösbar, wenn sie nichttrivial mit reellen Zahlen und für jede Primzahl p nichttrivial mit p-adischen Zahlen lösbar ist.

Vorausgesetzt werden Grundkenntnisse der (linearen) Algebra. Außerdem werden wir ohne Beweis den dirichletschen Primzahlsatz in der Form Für jedes Paar a,b teilerfremder natürlicher Zahlen enthält die Folge an+b unendlich viele Primzahlen. verwenden.

Vorträge

Als Grundlage für das Seminar soll in erster Linie Serres Buch A Course in Arithmetic [S] dienen.

  1. Endliche Körper und der Satz von Chevalley-Warning [S, I §1-2]
    16. April — Jan Mathis Grumbach — Folien und Notizen
  2. Das quadratische Reziprozitätsgesetz [S, I §3]
    23. April — Maria Klassen — Ergänzung
  3. Einführung in die p-adischen Zahlen [S, II §1-2.1]
    7. Mai — Kathrin Stollburges
  4. Einheiten und Quadrate in den p-adischen Zahlen [S, II §2.2-3]
    14. Mai — Johannes Krah — Ausarbeitung
  5. Das lokale Hilbert-Symbol [S, III §1]
    28. Mai — Jessica Pauleickhoff
  6. Das globale Hilbert-Symbol [S, III §2]
    4. Juni — Katharina Martens
  7. Allgemeines zu quadratischen Formen [S, IV §1.1-1.5]
    11. Juni — Ilka Brakhage
  8. Quadratische Formen über den reellen Zahlen und über endlichen Körpern [S, IV §1.6-1.7 + § 2.4]
    18. Juni — Joshua Turan
  9. Quadratische Formen über den p-adischen Zahlen [S, IV §2]
    25. Juni — Niklas Zegula
  10. Quadratische Formen über den rationalen Zahlen [S, IV §3 + Appendix]
    2. Juli — Erik Vinke
  11. Binäre quadratische Formen über den ganzen Zahlen [BV, §1]
    9. Juli — Maximilian Seidel

Literatur