Elementare Zahlentheorie (eKVV: 240021)
Vorlesung im Sommersemester 2018 (4 SWS)
mit Übungen (2 SWS)
Dozent: Dr. Julia Sauter
Vorlesungstermine:
- Dienstag 16.00-17.30 Uhr, in H11
- Donnerstag 16.00-17.30 Uhr, in H11
Die Vorlesung findet an den folgenden Terminen nicht statt (wegen gesetzlicher Feiertage): 1.5., 10.5., 31.5.
Inhalt: Elementare Zahlentheorie
Die elementare Zahlentheorie beschäftigt sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen.
Hierbei geht es zum einen um das Studium der Primzahlen: Wie sind sie verteilt? Ist eine Zahl eine Primzahl? Zum anderen geht es um diophantische Gleichungen. Das sind polynomielle Gleichungen mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen bei denen man nach ganz-zahligen Lösungen sucht. Das bekannteste Beispiel hierzu ist die Fermatsche Gleichung. Ein sehr wichtiges Werkzeug, um die ganzen Zahlen zu verstehen und die beiden Fragen zu beantworten, sind die endlichen Restklassenringe.
Um zu entscheiden, ob eine Restklasse ein Quadrat ist, beweisen wir das quadratische Reziprozitätsgesetz.
- Teilbarkeit und Primzahlen
- Die Verteilung der Primzahlen
- Zahlentheoretische Funktionen
- Kongruenzen
- Z/mZ
- Primitivwurzeln
- Der Polynomring und endliche Körper
- Reduktionen diophantischer Gleichungen und Hensels Lemma
- Quadratische Reste
- Quadratische Zahlkörper
- Der zwei und vier Quadratesatz
- Kettenbrüche und die Pellesche Gleichung
Es gibt viele weitere Themen, die sehr gut in diese Vorlesung gepasst hätten, zum Beispiel:
Quadratische Formen und elliptische Kurven. Zu quadratischen Formen lief ein paralleles Proseminar von Jan Geuenich, elliptische Kurven werden zum Beispiel in Kursen von Barbara Baumeister behandelt.
Literatur:
Dies sind die Hauptquellen, die ich für die Vorlesung benutzt habe.
- Schauen Sie sich Vorlesungshomepages und Skripte vergangener Semester an. Zum Beispiel von
Prof. Dr. Claus Ringel
für die Themen
zahlentheoretische Funktionen und die Verteilung der Primzahlen,
oder von Prof. Werner Hoffmann für Hensels Lemma,
und von Prof. Irene Bouw für den den Vier-Quadrate Satz.
- Eine sehr elementare Behandlung von 1) Bertrands Postulat, 2) Summe zweier Quadrate und 3) Quadratisches Reziprozitätsgesetz finden Sie in dem Buch Aigner, Ziegler: Das Buch der Beweise
- Eine Aufgabenorientierten Zugang mit kurzen Lebensläufen der wichtigsten Mathematiker bietet das Buch von Allenby, Redfern: Introduction to Number Theory with computing. Ich habe diese Quelle für den Satz von Gauß zur Existenz von Primitivwurzeln benutzt.
- Für das Thema Polynomring und endliche Körper habe ich das Buch von Zhe-Xian Wan: Finite Fields and Galois Rings, Kapitel 4 und 6 benutzt. Der Zugang in dem Buch ist sehr Biespielorientiert und elementar, den Begriff des Zerfällungskörpers haben wir nicht eingeführt, um nicht zu weit in die Galoistheorie zu gehen.
- Das Buch von Müller-Stach, Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie, Kapitel 10 und teilweise Kapitel 17 habe ich für Kettenbrüche und Pellesche Gleichung benutzt.
- Für das Thema quadratische Zahlkörper habe ich den Zerlegungssatz aus dem Wikipedia-artikel (zu quadratischen Zahlkörpern) umgeschrieben, so dass er weder den Begriff Primideal, noch die Diskriminante benötigt. Stattdessen benutzen wir nur irreduzible und prime Elemente und betrachten deren Minimalpolynome.
Leistungsnachweise
sind je nach Studiengang verschieden. Zu dieser Veranstaltung gibt es die folgenden Leistungsnachweise,
die jeweils unabhängig voneinander sind:
- Die Klausur 1 findet am Mittwoch, den 2. August 2018, von 10:00 bis 12:00 Uhr in H7 statt. Es ist erlaubt, einen beidseitig beschriebenen Din-A4-Zettel als Hilfsmittel zur Klausur mitzubringen. Es ist erlaubt einen Taschenrechner zu benutzen, um die Rechenoperationen in den ganzen Zahlen auszuführen. Eine weitergehende Nutzung des Taschenrechner ist nicht zulässig (versuchen Sie deshalb einen möglichst simplen Taschenrechner zu benutzen). Die Rückgabe der Klausur findet am Freitag, den 3.8. von 14-15h in V5-229 statt.
Die Klausur 2 findet am Mittwoch, den 25. September 2018, von 10:00 bis 12:00 Uhr im Raum H3 statt. Es gelten dieselben Bedingungen wie in Klausur 1.Die Rückgabe der Klausur findet am Mittwoch, den 26.9. von 14-15h in V5-229 statt. Falls Sie nicht zugestimmt haben, dass ihr Klausurergebnis auf der Homepage (von B. Rognerud) erscheint, kontaktieren Sie Melanie Kreimeyer (V5-224, email: mkreimeyer@math.uni-bielefeld.de) oder kommen Sie zur Klausureinsicht, um ihre Note zu erfahren.
- Sie haben auch die Möglichkeit eine mündliche Prüfung abzulegen, solange dies im Rahmen der jeweiligen Modulbeschreibung zulässig ist. Hierzu können sie eine Email an Julia Sauter schreiben.
- Ein Übungsnachweis kann wie folgt erlangt werden
- Sie erreichen mindestens 50 % der erreichbaren Gesamtpunktzahl.
- Vorstellung zweier Übungsaufgaben in der Übungsgruppe
Übungen zur Vorlesung
Übungsleitung: Dr. Baptiste Rognerud
Übungstermine: Die Übungen beginnen in der zweiten Vorlesungswoche.
- Montag 12-14 Uhr in T2-226 (Tutor: Hanna Busch), Beginn: 16.4.2018
- Dienstag 14-16 Uhr in V4-112 (Tutor: Dr. Fei Xie), dieses Tutorium findet in Englisch statt. Beginn: 17.4.2018
- Donnerstag 8-10 Uhr in V4-112 (Tutor: Oliver Knufinke), Beginn: 19.4.2018
- Donnerstag 10-12 Uhr in V4-112 (Tutor: Oliver Knufinke), Beginn: 19.4.2018
- Donnerstag 18-20 Uhr in V4-119 (Tutor: Jennifer Irrgang), Beginn: 19.4.2018
- Ersatztutorium am Dienstag, den 8.5. von 14-16 Uhr bei Oliver Knufinke
An gesetzlichen Feiertagen finden keine Tutorien statt. Bitte versuchen Sie an einem beliebigen anderen Tutorium in der Woche teilzunehmen. Gelegentlich werden Ersatztutorien angeboten (siehe oben).
In jeder Vorlesungswoche (ausgenommen der letzten beiden) gibt es ein Übungsblatt; es wird freitags morgens um 10h herausgegeben und ist in der darauffolgenden Woche freitags
im Kopierraum V3-128 im Postfach des jeweiligen Tutors abzugeben.
Die Zettel werden in der Übungsgruppe korrigiert zurückgegeben und besprochen. Die Aufgaben können in Gruppen zu maximal 3 Personen bearbeitet werden. Jedes Mitglied einer Gruppe muss in der Lage sein, jede Aufgabe seiner Gruppe vorzustellen.
Präsenzübungen zur Vorlesung
- Mittwoch 14-16 Uhr in H13 (Tutor: Jennifer Irrgang), Beginn: 18.4.2018
- Freitag 12-14 Uhr in X-E0-210 (Tutor: Jennifer Irrgang), Beginn: 20.4.2018
am Freitag, den 4.5. von 12-14 Uhr in T2-208 (anderer Raum) , danach neuer Termin!
ab dem 8.5. findet die Präsenzübung Dienstags 8:30-10h in X-E0-204 statt.
In jeder Woche gibt es ein Präsenzblatt; es wird montags herausgegeben und am darauffolgenden Mittwoch und Freitag besprochen.
Aufgabenzettel:
Sie finden die
Präsenzblätter und Übungsblätter auf der Homepage von Baptiste Rognerud. Folgen Sie diesem Link:
Link.
Das Sieb des Erastosthenes ist eine Methode, um Primzahlen zu finden (s.u.).
(Quelle des Bildes: Wikipedia).
