Elementare Zahlentheorie (eKVV: 240021)
Vorlesung im Sommersemester 2024 (4 SWS)
mit Übungen (2 SWS)
Dozent: Dr. Julia Sauter
Vorlesungstermine:
- Montag 12.15-13.45 Uhr, in H11
- Donnerstag 12.15-13.45 Uhr, in H11
Die Vorlesung findet an den folgenden Terminen nicht statt (wegen gesetzlicher Feiertage): 9.5.24, 20.5.24, 30.5.24
Inhalt: Elementare Zahlentheorie
Die elementare Zahlentheorie beschäftigt sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen.
Hierbei geht es zum einen um das Studium der Primzahlen: Wie sind sie verteilt? Ist eine Zahl eine Primzahl? Zum anderen geht es um diophantische Gleichungen. Das sind polynomielle Gleichungen mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen bei denen man nach ganz-zahligen Lösungen sucht. Das bekannteste Beispiel hierzu ist die Fermatsche Gleichung. Ein sehr wichtiges Werkzeug, um die ganzen Zahlen zu verstehen und die beiden Fragen zu beantworten, sind die endlichen Restklassenringe.
Um zu entscheiden, ob eine Restklasse ein Quadrat ist, beweisen wir das quadratische Reziprozitätsgesetz.
- Teilbarkeit und Primzahlen
- Die Verteilung der Primzahlen
- Zahlentheoretische Funktionen
- Kongruenzen
- Z/mZ
- Primitivwurzeln
- Der Polynomring und endliche Körper
- Reduktionen diophantischer Gleichungen und Hensels Lemma
- Quadratische Reste
- Quadratische Zahlkörper
- Der zwei und vier Quadratesatz
- Kettenbrüche und die Pellesche Gleichung
Literatur:
Dies sind die Hauptquellen, die ich für die Vorlesung benutzt habe.
- Schauen Sie sich Vorlesungshomepages und Skripte vergangener Semester an. Zum Beispiel von
Prof. Dr. Claus Ringel
für die Themen
zahlentheoretische Funktionen und die Verteilung der Primzahlen,
oder von Prof. Werner Hoffmann für Hensels Lemma,
und von Prof. Irene Bouw für den den Vier-Quadrate Satz.
- Eine sehr elementare Behandlung von 1) Bertrands Postulat, 2) Summe zweier Quadrate und 3) Quadratisches Reziprozitätsgesetz finden Sie in dem Buch Aigner, Ziegler: Das Buch der Beweise
- Eine Aufgabenorientierten Zugang mit kurzen Lebensläufen der wichtigsten Mathematiker bietet das Buch von Allenby, Redfern: Introduction to Number Theory with computing. Ich habe diese Quelle für den Satz von Gauß zur Existenz von Primitivwurzeln benutzt.
- Für das Thema Polynomring und endliche Körper habe ich das Buch von Zhe-Xian Wan: Finite Fields and Galois Rings, Kapitel 4 und 6 benutzt. Der Zugang in dem Buch ist sehr Biespielorientiert und elementar, den Begriff des Zerfällungskörpers haben wir nicht eingeführt, um nicht zu weit in die Galoistheorie zu gehen.
- Das Buch von Müller-Stach, Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie, Kapitel 10 und teilweise Kapitel 17 habe ich für Kettenbrüche und Pellesche Gleichung benutzt.
- Für das Thema quadratische Zahlkörper habe ich den Zerlegungssatz aus dem Wikipedia-artikel (zu quadratischen Zahlkörpern) umgeschrieben, so dass er weder den Begriff Primideal, noch die Diskriminante benötigt. Stattdessen benutzen wir nur irreduzible und prime Elemente und betrachten deren Minimalpolynome.
Leistungsnachweise
Laut Modulbeschreibung Modul 24-B-PRO Profilierung kann man hier ein Studienleistung und ein Portfolio mit Abschlussprüfung bekommen
Studienleistung: Regelmäßiges Bearbeiten der Übungsaufgaben jeweils mit erkennbarem Lösungsansatz sowie die Mitarbeit in den Übungsgruppen zu der gewählten Veranstaltung (Die Studierenden liefern regelmäßig Beiträge zur fachlichen Diskussionen in der Übungsgruppe. In Betracht kommen insbesondere fachliche Kommentare und Fragen zu den vorgestellten Lösungsvorschlägen sowie zweimaliges Vorrechnen von Übungsaufgaben nach Aufforderung).
Portfolio mit Abschlussprüfung: Nachweis einer ausreichenden Zahl korrekt gelöster Übungsaufgaben, die im Rahmen der Studienleistung des Moduls bearbeitet werden (50% der im Semester für das Lösen der Aufgaben erzielbaren Punkte) und Bestehen einer Abschlussprüfung in Form einer Abschlussklausur (90 min). Die Abschlussprüfung bezieht sich auf den Inhalt der Vorlesung und der Übung und dient der Bewertung.
- Die Klausur 1 findet in der Woche 5.8.-9.8.24 (wird noch spezifiziert) statt. Es ist erlaubt, einen beidseitig beschriebenen Din-A4-Zettel als Hilfsmittel zur Klausur mitzubringen. Es ist erlaubt einen Taschenrechner zu benutzen, um die Rechenoperationen in den ganzen Zahlen auszuführen. Eine weitergehende Nutzung des Taschenrechner ist nicht zulässig (versuchen Sie deshalb einen möglichst simplen Taschenrechner zu benutzen). Die Rückgabe der Klausur findet am... in V5-227 statt.
Die Klausur 2 findet in der Woche 23.9.-27.9.24 statt. Es gelten dieselben Bedingungen wie in Klausur 1.Die Rückgabe der Klausur findet am .. in V5-227 statt.
Übungen zur Vorlesung
Übungsleitung: Dr. Andrew Hubery
Übungstermine: Die Übungen beginnen in der zweiten Vorlesungswoche ab dem 17.4.24.
Abgabezeiten werden auf den Übungszetteln stehen.
Aufgabenzettel:
Sie finden die Übungsblätter auf der Homepage von Andrew Hubery. Folgen Sie diesem Link: Link
Das Sieb des Erastosthenes ist eine Methode, um Primzahlen zu finden (s.u.).
(Quelle des Bildes: Wikipedia).
