Anforderungen für die Endklausur LA II

Teil A

I. Jordan'sche Normalform

• Berechnung der Jordan'schen Normalform einer Matrix A.
  (Voraussetzung: Das charakteristische Polynom von A zerfällt in Linearfaktoren.)
  - Dies ist natürlich nur in einfachen Fällen in kurzer Zeit machbar;
  zumindest aber Einzelschritte, etwa:
  A sei nilpotente 10×10-Matrix, es sei

  dim Kern (fA) = 4,

  dim Kern (fA)2 = 8,

  dim Kern (fA)3 = 9.

  Wie sieht dann die Jordan'sche Normalform aus?
  und auch: Wenn einige Bedingungen an A gestellt sind, welche Jordan'schen Normalformen sind möglich:
  Zum Beispiel: Sei A 10×10-Matrix mit A³ = 0.
• Gesucht ist zu einer quadratischen Matrix A eine invertierbare Matrix P, so dass P^-1AP in Jordan'scher Normalform ist.
  (Ist natürlich ebenfalls nur in einfachen Fällen in kurzer Zeit machbar;
  auch hier kann man nach Einzelschritten fragen. Siehe etwa Zusatz 1A, Zusatz 2)

II. Faktorraum, Dualraum.

• Die Dimensionsformeln.
  Aus den Dimensionsformeln weitere derartige Formeln ableiten können.
  (Siehe etwa Übungsaufgabe 3-3, Testaufgaben Zusatz 8)
• Beim Arbeiten mit einem Faktorräum V/U: Nachweis der "Wohldefiniertheit" von Abbildungen.
  (Siehe etwa Übungsaufgaben 3-1, 3-2, 3-4, 4-1, 4-2)
• Konstruktion der dualen Basis zu einer gegebenen Basis eines n-dimensionalen Raums.
• Konstruktion von Annullatoren

III. Euklid'sche Räume, unitäre Räume; orthogonale Endomorphismen, unitäre Endomorphismen

• Gram-Schmidt'sches Orthonormieren einer Folge von Vektoren.
  
• Sei U Unterraum. Berechne das orthogonale Komplement.
• Prüfung, ob eine vorgegebene Matrix (ein vorgegebener Endomorphismus) orthogonal ist, unitär ist.
• Vertrautheit mit Drehmatrizen, Spiegelungsmatrizen (2×2-Matrizen).
  Insbesondere: Wann gibt es Eigenvektoren und wie sehen sie aus?
  Allgemeiner: Was weiß man über die Eigenwerte orthogonaler, bzw unitärer Matrizen?
• Berechnung der Länge von Vektoren, des Winkels zwischen zwei Vektoren, des Abstands eines Punkts von einer Geraden, einer Ebene, usw.

Und auch: Nachträge zu LA I

• Vertrautheit mit der Bildung der direkten Summe zweier Unterräume.
• Berechnung von f-invarianten Unterräumen (f sei ein Endomorphismus eines Vektorraums; in einfachen Fällen).

Teil B

Bewegungsgruppen

• Man schreibe Drehungen, Spiegelungen, Gleitspiegelungen in B(2) als Hintereinananderschaltung einer orthogonalen Abbildung und einer Translation.
• Wie sieht die Hintereinanderschaltung fg zweier Bewegungen f,g in B(2) aus? (16 Möglichkeiten: f sei Drehung, Translation, Spiegelung, Gleitspiegelung, entsprechend g).
• Zeige: Ist f eine Gleitspiegelung, so ist f² eine Translation.
• Man überprüfe, ob zwei vorgegebene Tapetenmuster die gleiche Symmetriegruppe besitzen.
• Man überprüfe, ob zwei vorgegebene Friese die gleiche Symmetriegruppe besitzen.
• Man überprüfe, ob zwei vorgegebene Rosetten die gleiche Symmetriegruppe besitzen.
• Man bestimme die Symmetriegruppe einer Rosette.
• Man bestimme die Symmetriegruppe eines Frieses (Verwendung eines Bestimmungsblatts ist erlaubt).
• Man bestimme die Symmetriegruppe eines Tapetenmusters (Verwendung eines Bestimmungsblatts ist erlaubt).
• Man bestimme die Punktgruppe eines Tapetenmusters.
• Seien a, b linear unabhängig im euklid'schen Raum R². Sei L = Za + Zb.
  • Welche Möglichkeiten gibt es für die Symmetrie-Gruppe des Gitters L.
  • Man bestimme mehrere Basen des Gitters L an.

Selbstadjungierte Endomorphismen. Quadriken.

• Prüfung, ob eine vorgegebene Matrix (ein vorgegebener Endomorphismus) selbstadjungiert ist.
• Zeige: Ist A symmetrisch und invertierbar, so ist auch A^-1 symmetrisch.
• Hauptachsentransformation: Sei A symmetrische, reelle Matrix. Gesucht ist eine orthogonale Matrix P, sodass ^tPAP eine Diagonal-Matrix ist.
• Man bestimme die Hauptachsen einer Quadrik.
• Man bestimme die erweiterte Koeffizientenmatrix einer quadratischen Form.
• Sei A die Koeffizientenmatrix, A' die erweiterte Koeffizientenmatrix einer quatrischen Form p. Welche Möglichkeiten gibt es für Rang(A')-Rang(A) und welche Normalformen erhält man für p (in Abhängigkeit von der Rang-Differenz).

Symmetrische Bilinearformen

• Diagonalisieren symmetrischer Bilinearformen (die Charakteristik des Grundkörpers sei nicht 2) mit Hilfe des Scherungs-Algorithmus.
• Zeige: Ist K = Z/2Z oder K = C, so gibt es nilpotente symmetrische Matrizen A in M(2×2,K), die von Null verschieden sind.
  Ist dagegen K = R, so ist die einizige nilpotente symmetrische (n×n)-Matrix die Nullmatrix.
• Überprüfung, ob eine symmetrische reelle Matrix positiv definit ist.
• Sei < -,- > eine symmetrische Bilinearform auf Rⁿ und U ein Unterraum von Rⁿ. Bestimme eine Basis des Raums der zu U orthogonalen Vektoren.
• Sei < -,- > eine symmetrische Bilinearform auf Rⁿ und U ein Unterraum von Rⁿ. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Signatur von < -,- > und dim U, falls man weiss, dass gilt
  • U ist total isotrop, oder
  • die Einschränkung von < -,- > auf U ist positiv definit, oder
  • die Einschränkung von < -,- > auf U ist positiv semi-definit, oder
  • die Einschränkung von < -,- > auf U ist negativ definit, oder
  • die Einschränkung von < -,- > auf U ist negativ semi-definit.

Beispiel-Aufgaben