Endomorphismen: Eigenwerte und Eigenvektoren

Definitionen

• Def: Endomorphismus
• Def: Eigenvektor und Eigenwert

Beispiele

• Geometrie der Ebene R²
  • Drehungen, Spiegelungen
  • Fibonacci-Zahlen:
• Funktionenräume
  • Eigenvektoren zum Operator T.Differenzieren.
  • Eigenvektoren zum Differenzieren.
  • Eigenvektoren zu Diff-Quadrat. Zum Beispiel bei periodischen Funktionen!
• Perron-Frobenius
  • Google

Grundlegende Eigenschaften

Eigentlich trivial. Aber wichtig!

Endomorphismen endlich erzeugter Vektorräume

Satz: Alle Matritzendarstellungen sind ähnlich.

Also: Charakteristisches Polynom eines Endomorphismus.

Eigenwerte = Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Verfahren zur Bestimmung aller Eigenvektoren von f:

1. Bestimme alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms, dies liefert alle Eigenwerte.
2. Ist λ ein Eigenwert, bestimme Eig(f,λ)

Folgerung: Jeder Eigenwert ist Nullstelle des Minimalpolynoms.
Beweis: Sei γ Eigenwert von f, sei v ein Eigenvektor von f mit Eigenwert γ. Sei p(T) ein Polynom mit p(f) = 0. Dann ist 0 = p(f)v = f(γ)v, und wegen v ≠ 0 ist f(γ) = 0. Also ist γ Nullstelle von f. Insbesondere ist demnach γ Nullstelle des Minimalpolynoms von f.
(Warum ist p(f)v = f(γ)v ? Sei p(T) = Σ c_iTⁱ, also p(f) = Σ c_ifⁱ, und p(f)(v) = Σ c_ifⁱ(v). Es ist aber fⁱ(v) = Σⁱv, also ist Σ c_ifⁱ(v) = Σ c_iγⁱ(v) = (Σ c_iγⁱ)(v) = f(γ)v.)

Folgerung: Minimalpolynom und charakteristisches Polynom haben die gleichen irreduziblen Faktoren.

Eigenvektoren mit paarweise verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.

Beweis:

Endomorphismen deren charakteristisches Polynom Produkt paarweiser verschiedener Linearfaktoren ist.

Ist das charakteristische Polynom Produkt paarweiser verschiedener Linearfaktoren, so gibt es also n verschiedene Eigenwerte.
Für jeden Eigenwert λ ist Eig(f,λ) mindestens eindimensional, also ist