Wozu verwendet man Matrizen?

Gegeben sei eine (m×n)-Matrix A = (aij)aij mit Koeffizienten aij in K (dabei sei K ein Körper)
I

Für lineare Gleichungssysteme

  • Für homogene lineare Gleichungssysteme:
    m Gleichungen in n Unbekannten liefern eine (m×n)-Matrix A (man nennt sie die Koeffizienten-Matrix des Gleichungssystems):
    Die Koeffizientenmatrix A des Gleichungssystems
    Σj=1n  aijXj = 0     (1 ≤ i ≤ m)
    ist die Matrix A = (aij)aij.
  • Für inhomogene lineare Gleichungssysteme:
    m Gleichungen in n Unbekannten liefern eine (m×(n+1))-Matrix (man nennt sie die erweiterte Koeffizienten-Matrix des Gleichungssystems):
    Die Koeffizientenmatrix (A,b) des Gleichungssystems
    Σj=1n  aijXj = bi     (1 ≤ i ≤ m)
    ist die Matrix A =(aij)aij.





Zwischen I und II gibt es einen Zusammenhang!
II

Zur Beschreibung einer linearen Abbildung Kn → Km

Eine lineare Abbildung f : Kn → Km liefert eine (m×n)-Matrix A = (aij)ij mit Koeffizienten aij in K,
und zwar setzt man a-,j = f(ej), dabei sei e1,...,ej die Standardbasis von Km.
(die j-te Spalte ist also das Bild des j-ten Standardbasis-Vektors).

Zur Beschreibung einer linearen Abbildung V → W

wobei V, W endlich-dimensionale K-Vektorräume sind, mit dim V = n, dim W = m, falls eine Basis von V und eine Basis von W gegeben sind.
II'

Zur Beschreibung einer affinen Abbildung Kn → Km

        (erst in der Vorlesung Lineare Algebra II)
III

Zur Beschreibung einer Basis von Kn

Ist B = {b1,...,bn} eine Basis von Kn, so sei MB die Matrix, deren j-te Spalte der Vektor bj (aufgefasst als Spaltenvektor!) ist (mit 1 ≤ j ≤ n).

(Man erhält auf diese Weise gerade die invertierbaren (n×n)-Matrizen)

Zur Beschreibung eines Basiswechsels

IV

Zur Beschreibung eines Unterraums von Kn durch ein endliches Erzeugendensystem.

V

Zur Beschreibung einer Bilinearformen auf einem Vektorraum Kn.

        (erst in der Vorlesung Lineare Algebra II)
V'

Zur Beschreibung einer quadratischen Form auf einem Vektorraum Kn.

Und damit zur Beschreibung von Quadriken - eine Quadrik ist die Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms p : Rn → R.
(Dabei sei R der Körper der reellen Zahlen).
        Hier ein Beispiel
        (erst in der Vorlesung Lineare Algebra II)
Ringel
Last modified: Sun Jan 16 12:33:50 CET 2005