Freudenthal's Einhängungssatz

Entsprechend erhalten wir für jede stetige Abbildung X → Y ihre Einhängung Σf. Wir sehen also: Σ ist ein Funktor von der Kategorie der topologischen Räume in sich. Sind f,g:X → Y homotop, so sind auch die Abbildungen Σf und Σg homotop, also liefert Σ auch einen Funktor von der Homotopie-Kategorie der topologischen Räume in sich (zur Erinnerung: mit [X,Y] bezeichnen wir die Menge der Homotopieklassen stetiger Abbildung X → Y).

Wir zeigen hier folgendes:

Satz. Die Abbildung Σ : [Sm-1,Sn-1] → [Sm,Sn] ist bijektiv für m < 2n-2 und surjektiv für m = 2n-2.

Die hier formulierte Aussage ist der "leichte Teil" des Freudenthal'schen Satzes. Der "schwere Teil" liefert eine explizite Beschreibung des Kerns von Σ (im Fall m = 2n-2); hier sollte betont werden, dass Σ für jedes n ≥ 2 ein Gruppen-Homomorphismus ist.

Es gibt allgemeinere Aussagen, die die Einhängungs-Abbildung
Σ : [X,Y] → [ΣX,ΣY] betreffen, damit werden wir und später beschäftigen.

Hier soll vor allem am Beispiel von Sphären-Abbildungen das Phänomen des Stabilisierens unter der Einhängung sichtbar gemacht werden. Dabei ist die Surjektivitäts-Aussage die entscheidende, da die betrachteten Gruppen im allgemeinen endlich erzeugt und damit "noethersch" sind.

Beweis.

Für den Beweis der hier formulierten Aussagen wird gebraucht:

• Der Satz über simpliziale Approximation
• Eine einfache Überlegungen über endliche (oder abzählbare) Vereinigungen affiner Unterräume des R^m, nämlich:

  Lemma. Sei K abzählbare Vereinigung affiner Unterräume des R^m der Dimension höchstens p, sei K abzählbare Vereinigung affiner Unterräume des R^m der Dimension höchstens q, und sei p+q < m. Sei ε > 0. Dann gibt es einen Vektor x mit |x| < ε so dass die Mengen K und L+x disjunkt sind.

Wir wollen zeigen, dass für m ≤ 2n-2 die Einhängungsabbildung surjektiv ist. Sei also f : S^m → Sⁿ eine stetige Abbildung. Wir können voraussetzen, dass f surjektiv ist (denn sonst ist f null-homotop und wir haben nichts zu zeigen).

(1) Wir können voraussetzen, dass es Punkte a, a' in Sⁿ gibt, sodass K = f^-1(a) im Innern der oberen Halbkugel von S^m, und K' = f^-1(a') im Innern der unteren Halbkugel von S^m liegen.

Nach dem simplizialen Approximationssatz können wir annehmen, dass f simplizial ist (und natürlich müssen wir S^m und Sⁿ durch entsprechende Simplizialkomplexe ersetzen). Wir wählen zwei verschiedene innere Punkte a,a' in n-Simplizes von von Sⁿ und setzen K = f^-1(a) und K' = f^-1(a'). Dies sind endliche Vereinigungen von affinen Teilmengen der Dimension m-n (dabei verstehen wir hier unter einer affinen Menge den Durchschnitt eines Simplex mit einem affinen Teilraum). Wähle einen Punkt y in S^m außerhalb von K und K' (existiert, weil f surjektiv und n ≥1 ist). Da K und K' beide abgeschlossen sind, gibt es eine abgeschlossene ε-Umgebung Y von y, die weder K noch K' schneidet. Durch Dehnen und Schrumpfen der Sphäre S^m können wir annehmen, dass Y die untere Halbkugel und y der Südpol ist.

Insbesondere liegen also K und K' im Inneren der oberen Halbkugel. Nun bilden wir den Kegel L über K' mit Spitze y.

(Bei der Bildung des "Kegels" in der m-Sphäre handelt es sich um folgende Konstruktion: man entferne einen Punkt y' der m-Sphäre, der nicht in K' liegt und verschieden von y ist. Dann ist S^m-{y'} ein m-dimensionaler affiner Raum, in ihm können wir derartige Kegel bilden. Die Identifikation von S^m-{y' mit dem R^m soll natürlich stückweise linear sein!)

Im allgemeinen werden sich K und L schneiden.
Aber: Die Dimension von K ist m-n, die von L ist m-n+1, und es gilt:

(m-n)+(m-n+1) = 2m-2n+1 < m (denn nach Voraussetzung ist m-2n+1 < 0). Also gibt es Vektoren x, sodass K und L+x disjunkt sind, und wir können x beliebig klein wählen.
Wir wählen x so klein, dass y+x immer noch im Innern der unteren Halbkugel liegt:

und dass zusätzlich gilt: |x| < 1/2 dist(K,K'). Auf diese Weise erreichen wir, dass es eine offene Menge U gibt, die die verschobenen Mengen K'+λx mit 0 ≤ λ ≤ 1 enthält, und die mit K leeren Schnitt hat. Wir können demnach K' innerhalb U nach K'+x verschieben, sodass außerhalb von U kein Punkt bewegt wird.

Da K und L+x disjunkte abgeschlossene Mengen sind, gibt es eine offene Umgebung U' von L+x, die disjunkt zu K ist. Wir Verschieben nun K'+x innerhalb von L+x in die untere Halbkugel, sodass außerhalb U' kein Punkt bewegt wird.


Insgesamt sehen wir: es gibt eine Isotopie der Sphäre S^m, die K fixiert und K' in die untere Halbkugel schickt.

Wir betrachten nun folgende Situation: Gegeben sind zwei kompakte Hausdorff-Räume X, Y und eine stetige Abbildung f: ΣX → ΣY, sodass gilt:
• K = f^-1(a) ist in X×]1/2,1]/~ enthalten,
• K' = f^-1(a') ist in X×[0,1/2[/~ enthalten.
dabei ist a das Element Y×1 in ΣY, und entsprechend ist a' das Element Y×0 in ΣY.

Wir zeigen: Jede solche Abbildung ist homotop zu einer Abbildung der Form Σg mit g:X → Y.

Bisher haben wir Isotopien der S^m verwendet, nun werden wir zweimal mit Homotopien h : ΣX × I → ΣX arbeiten, die von Abbildungen der Form 1×φ induziert werden, dabei ist φ : I×I → I eine stetige Abbildung mit φ(0,t) = 0, φ(1,t) = 1 für alle 0 ≤ t ≤ 1. Es ist also h_t(x,s) = (x,φ(s,t)). Wir werden jeweils φ durch ein "Höhenlinienbild" beschreiben.

(2) Wir können zusätzlich voraussetzen, dass der Äquator A = {(x,1/2)| x in X} von ΣX in den Äquator {(y,1/2)| y in Y} von ΣY abgebildet wird.

Das Bild f(A) ist kompakt in ΣY, also abgeschlossen. Da a, a' beide nicht zu f(A) gehören, gibt es eine Zahl 0 < ε < 1/2 sodass f(A) in Y×[ε,1-ε] enthalten ist.

Wir verwenden eine Homotopie der Form h_tf : ΣX → ΣY, wobei h_t durch folgende Homotopie φ:I×I → I gegeben ist (man beachte, dass die s-Achse vertikal, die t-Achse horizontal gezeichnet ist; für die s-Achse entspricht dies der üblichen vertikalen Veranschaulichung der Einhängungs-Achse):

im schraffierten Bereich nimmt φ den Wert 1/2 an, insbesondere ist h₁(s) = 1/2 für alle s in [ε,1-ε] und damit gilt h₁f(x,1/2) = h₁(y,s) = (y,1/2) mit y in Y und s in [ε,1-ε]. Also sehen wir: die Abbildung h₁f ist homotop zu f und bildet den Äquator A von ΣX in den Äquator von ΣY ab.


Wir können also annehmen, dass f den Äquator A von ΣX in den Äquator von ΣY abbildet.

Wir können demnach f(x,1/2) = (g(x),1/2) schreiben und erhalten auf diese Weise eine stetige Abbildung g : X → Y.

Wir zeigen, dass f und Σg homotop sind.

Beachte: Da f den den Äquator A von ΣX in den Äquator von ΣY abbildet, gilt auch:

• f(X×[0,1/2]) wird in Y×[0,1/2] abgebildet und
• f(X×[1/2,1]) wird in Y×[1/2,1] abgebildet
(denn f(K) = a ist die Äquivalenzklasse von (y,1), und f(K') = a' ist die Äquivalenzklasse von (y,0).)

(3) f ist homotop zu einer Abbildung f', mit

• auf X×[1/4,3/4] stimmt f' mit Σg überein,
• X×[0,1/4] wird unter f' in Y×[0,1/4] abgebildet,
• X×[3/4,1] wird unter f' in Y×[3/4,1] abgebildet.
Dabei entsteht die Einschränkung von f' auf X×[0,1/4] durch: Strecken, Anwenden von f und wieder Stauchen, wobei Strecken und Stauchen jeweils nur die Einhängungskoordinate betrifft: sei s in [0,1/4] und x in X. Es ist f(x,2s) = (y,s') mit s' in [0,1/2]. Setze also f'(x,s) = (y,1/2s'). (Es ist klar, dass f' zu f homotop ist, und zwar vermöge einer entsprechend definierten Schar von Abbildungen f_t, wobei f_t auf X×[1/2-t/4,1/2+t/4] mit Σg übereinstimmt...).


(4) Analog zum Äquator-Argument werden nun die Polkappen X×[0,1/4] und X×[3/4,1] in ΣY zusammengezogen.

Diese Homotopie φ' : I× I → I liefert eine Homotopie h' : ΣY ×I → ΣY mit h'₀f' = f'. Setze f" = h'₁f'.

(5) Wenn wir entsprechend auch bei Σg die Polkappen zusammenziehen, so erhalten wir die gleiche Abbildung f": wir sehen also: Sowohl f als auch Σg sind zu f" homotop, daher sind f und Σg homotop. Damit ist der Surjektivitäts-Beweis abgeschlossen.

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Bemerkungen zum Surjektivitäts-Beweis. Der entscheidende Schritt (der die Voraussetzung m ≤ 2n-2 benutzt) ist das Entketten von K und K': dass wir durch Verschieben (also durch Isotopie) erreichen können, dass K in der oberen Halbkugel, K' in der unteren Halbkugel liegt.

Ist etwa m=3, n=2, so ist die Einhängung Σ nicht surjektiv: es ist [S²,S¹] = 0, aber [S³,S²] = Z. Die Gruppe [S³,S²] wird von der Hopf-Abbildung S³ → S² erzeugt. Bei der Hopfabbildung sind K, K' Kreise, und K und K' "gelinkt":

(sie können nicht so verschoben werden, dass die Bilder durch eine Ebene getrennt werden). Wenn wir den Kegel L über K' bilden, mit einem beliebigen Punkt als Spitze, so erhalten wir einfach eine Kreisscheibe mit Rand K', und K schneidet auf jeden Fall L+x für alle kleinen Vektoren x.

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Wir setzen jetzt m ≤ 2n-3 voraus, und wollen zeigen, dass Σ injektiv ist. Dazu arbeiten wir ganz analog zum Surjektivitätsbeweis und zwar genügt es, die Schritte (1) und (2) zu imitieren.

Gegeben sind also zwei stetige Abbildungen f₀, f₁ : X → Y so dass die Abbildungen Σf₀ und Σf₁ homotop sind. Zu zeigen ist, dass f₀, f₁ homotop sind.

Gegeben ist demnach eine stetige Abbildung

F:ΣS^m×I → ΣSⁿ mit F₀ = Σf₀ und F₁ = Σf₁. Wir nehmen wieder an, dass F eine simpliziale Abbildung ist.

Wir bilden wieder Urbilder K = f^-1(a) und K' = f^-1(a') (wobei wieder a und a' innere Punkte von n-Simplizes sind).

und entketten sie:

Dazu bilden wir wie im Surjektivitätsbeweis einen geeigneten Kegel L über K'. Die Dimension von K und K' ist jeweils m+1-n, die von L also m+2-n. Nun ist aber (m+1-n)+(m+2-n) = 2m-2n+3 ≤ m < m+1, demnach können wir L verschieben, sagen wir mit dem Vektor x, sodass K und L+x disjunkt sind. Dabei wählen wir x so klein, dass wir K nach K+x und K+x zur Kegelspitze hin verschieben können, ohne bei den verwendeten Isotopien die beiden Äquatorebenen A×0 und A×1 zu bewegen (dabei ist A = S^m×{1/2} der Äquator von ΣS^m).

Wir können also annehmen, dass F folgende Eigenschaft hat: das Urbild K von a unter F liegt in S^m×]1/2,1]×I, das Urbild K' von a' liegt in S^m×[0,1/2[×I.

Nun betrachten wir das Bild von A×I (wobei A der Äquator von ΣS^m ist). Wieder gibt es ε > 0, sodass F(A×I) in Sⁿ×[ε1-ε] abgebildet wird. Die Homotopie h, die wir oben verwandt haben, zieht den ganzen Bereich ⁿ×[ε1-ε] auf den Äquator der ⁿ zusammen. Auf diese weise erhalten wir als Einschränkung auf A×I eine Homotopie von f₀ nach f₁.
Dies beendet den Beweis.

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Beweis: Für n = k+2 und m = 2k+2 gilt m = 2n-2. Also ist die erste der oben notierten Abbildungen surjektiv.
Für n = k+s und m = 2k+s mit s≥3 gilt m ≤ 2n-3. Also sind die weiteren Abbildungen bijektiv.

Bemerkung: Der Fall k=0.. Es ergibt sich die folgende Folge von Abbildungen: π₁(S¹) → π₂(S²) → π₃(S³) → π₄(S⁴) → ... dabei ist die erste Abbildung surjektiv, die weiteren sind bijektiv. Da man ohne viel Mühe zeigen kann, dass π₁(S¹) = Z gilt, folgt: die Gruppen π_n(Sⁿ) mit n≥2 sind alle isomorph (unter der Einhängung) und sie sind zyklisch. Sobald man gezeigt hat, dass π₂(S²) nicht endlich ist, sieht man: Es ist π_n(Sⁿ) = Z für alle n≥1.

Wir wollen uns den Fall m = 2n-2 genauer ansehen, also die Abbildung

Besonders interessant sind jeweils die Fälle mit n ungerade, etwa n=2t+1,

• Es ist π_4t-1(S^2t) eine unendliche Gruppe,
• während π_4t(S^2t+1) endlich ist.

Man erhält ein Element mit unendlicher Ordnung in π_4t-1(S^2t) mit Hilfe der Whitehead-Konstruktion:

Dass dieses Element unendliche Ordnung hat, zeigt man mit Hilfe der Hopf-Invariante (siehe etwa Ossa). Andererseits gilt ganz allgemein:
Für beliebige stetige Abbildungen α : S_a → X und β : S_b → X ist Σ[α,β] nullhomotop.

Also liefert die Whitehead-Konstruktion keine nicht-trivialen stabilen Abbildungen!