Zusammenhang

• Sind U₁, U₂ offene Mengen mit Vereinigung X und leerem Durchschnitt, so ist eine der beiden Mengen U_i leer.
• Sind A₁, A₂ abgeschlossene Mengen mit Vereinigung X und leerem Durchschnitt, so ist eine der beiden Mengen A_i leer.
• Die einzigen Teilmengen von X, die offen und abgeschlossen sind, sind die leere Menge und X selbst.
• Sind X₁ und X₂ topologische Räume und ist X topologisch äquivalent zur topologischen Summe X₁+X₂, so ist eine der beiden Mengen X_i leer.
• Es gibt keine stetige surjektive Abbildung X → {0,1} (versehen mit der diskreten Topologie).

Man nennt X total unzusammenhängend, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten x, y eine offene und abgeschlossene Teilmenge X' gibt, die x, aber nicht y enthält.

Beispiele total unzusammenhängender Räume:

• Cantor'sches Diskontinuum
• Überabzählbare kompakte Mengen irrationaler Zahlen