| T0 | Zu je zwei Punkten x, y in X gibt es eine offene Menge U, die
einen der beiden, aber nicht beide Punkte enthält.
Es ist also x in U und y nicht in U oder aber y in U und x nicht in U. | |
| T1 | Ist x ein Punkt in X, so ist {x} abgeschlossen. (Punkte sind
abgeschlossen.)
Äquivalent: Zu je zwei Punkten x, y in X gibt es eine offene Menge U, die x, aber nicht y enthält. | |
| T2 | Zu je zwei Punkten x, x' in X gibt es disjunkte offene Mengen U, U' mit x in U und x' in U'. | Hausdorff'sch |
| T2,5 | Zu je zwei Punkten x, x' in X gibt es offene Mengen U, U' mit x in U und x' in U', so dass die Abschlüsse von U und U' disjunkt sind. | |
| T3 | Ist A eine abgeschlossene Teilmenge von X und x ein Punkt von X, der nicht in A liegt, so gibt es disjunkte offene Mengen U, U' mit: A ist in U enthalten und x in U'. | |
| T4 | Sind A, A' disjunkte abgeschlossene Teilmengen von X, so gibt es disjunkte
offene Mengen U, U' mit A enthalten in U und A' enthalten in U'.
Äquivalent: Ist A enthalten in U, wobei A abgeschlossen und U offen ist, so gibt es A' abgeschlossen und U' offen mit 
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| T5 | Sind Y, Y' Teilmengen von X, so dass der Durchschnitt von Y mit dem Abschluss von Y' leer ist und auch der Durchschnitt von Y' mit dem Abschluss von Y leer ist, so gibt es disjunkte offene Mengen U, U' mit Y enthalten in U und Y' enthalten in U'. |
Triviale Implikationen
Dabei ist eine Überdeckung von X eine Familie
(Yi)i in S, wobei Yi Teilmengen von X sind, so dass
X die Vereinigung dieser Teilmengen ist.
Die Überdeckung (Yi)i heißt
offen, falls alle Yi offen sind, sie heißt
endlich, wenn die Indexmenge S endlich ist.
Eine Teilüberdeckung
ist von der Form (Yi)i in S', wobei S' eine
Teilmenge von S ist.
Ist Y eine Teilmenge des topologischen Raums X, so heißt Y
kompakter Teilraum, falls Y mit der Relativtopologie
kompakt ist. Statt relativ-offene Teilmengen von Y kann man auch offene Teilmengen von X betrachten (und arbeitet dann mit einer Familie offener
Mengen (Yi)i von X, so dass Y in der Vereinigung dieser Yi
enthalten ist...)
| Satz 2. | |||||||||
| 1. |
Abgeschlossene Teilmengen eines kompakten Raums sind kompakt.
| 2. |
Kompakte Teilmengen eines Hausdorffraums sind abgeschlossen.
| 3. |
Bilder kompakter Teilmengen unter stetigen Abbildungen sind kompakt.
| 4. |
Ist f: X → Y eine stetige Abbildung mit X kompakt, Y Hausdorffsch, so
gilt: Ist A abgeschlossen in X, so ist f(A) abgeschlossen in Y.
| 5.
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Ist f: X → Y stetige bijektive Abbildung mit X kompakt, Y Hausdorffsch, so ist f ein Homöomorphismus.
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Der Beweis von (1) ist einfach! Sei X kompakt. Sei A abgeschlossen in X. Nimm eine offene Überdeckung von A durch offene Teilmengen des Gesamtraums und zusätzlich das Komplement von A...
Der Beweis von (2) ist wichtig: Sei X ein Hausdorff-Raum. Nimm eine kompakte Teilmenge Y von X. Sei z ein Element von X, das nicht in Y liegt. Zu konstruieren ist eine offene Menge U, so dass z in U liegt und U im Komplement von Y enthalten ist. Zu jedem y in Y wähle Uy, Vy offene disjunkte Mengen mit z in Uy und y in Vy. Die Mengen (Vy)y in Y bilden eine offene Überdeckung von Y, also gibt es eine endliche Teilüberdeckung, etwa (Vy)y in Y'. Sei nun U der Durchschnitt der Mengen Uy mit y in Y'. Dies ist ein endlicher Durchschnitt offener Mengen, also offen. Es ist z in Uy für jedes y, also z in U. Und U liegt im Komplement von Y, denn liegt x in Y, so liegt y in einem Vy mit y in Y', also gerade nicht in dem entsprechenden Uy (die U's und V's mit gleichem Index sind disjunkt) und demnach nicht in U.
Beweis von (3) ist ziemlich trivial. Sei f: X → Y stetig. Nimm eine offene Überdeckung (Ui)i von f(X), nimm die Urbilder f-1(Ui), wir erhalten eine offene Überdeckung von X...
(4) folgt unmittelbar aus (1), (2), (3). Ist A abgeschlossen in X, so ist A nach (1) kompakt, also f(A) kompakt nach (3), also abgeschlossen nach (2).
(5) folgt unmittelbar aus (4).
Satz 3. Sei X ein T4-Raum
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