Abbildung 1: Eine Gerade $AB$, ein Segment $\seg {CD}$ und ein Strahl $\protect \strahl {EF}$.
$\newcommand {\N }{\mathbb {N}}$$\newcommand {\Z }{\mathbb {Z}}$$\newcommand {\Q }{\mathbb {Q}}$$\newcommand {\R }{\mathbb {R}}$$\newcommand {\E }{\mathbb {E}}$$\newcommand {\id }{\operatorname {id}}$$\newcommand {\Isom }{\operatorname {Isom}}$$\newcommand {\defeq }{\mathrel {\mathop {:}}=}$$\newcommand {\eqdef }{=\mathrel {\mathop {:}}}$$\newcommand {\abs }[1]{\lvert #1 \rvert }$$\newcommand {\floor }[1]{\left \lfloor #1 \right \rfloor }$$\newcommand {\ceil }[1]{\left \lceil #1 \right \rceil }$$\newcommand {\seg }[1]{\overline {#1}}$$\newcommand {\strahl }[1]{\overrightarrow {#1}}$$\newcommand {\ang }{\sphericalangle }$$\newcommand {\gang }{\angle }$$\newcommand {\paritaet }{\operatorname {par}}$$\newcommand {\drehw }{\operatorname {ang}}$$\newcommand {\vektor }[1]{\underline {#1}}$$\renewcommand {\vec }{\operatorname {vec}}$$\newcommand {\protect }[1]{}$
Gegenstand unserer Untersuchungen ist die euklidische Ebene $\E ^2$. Sie besteht aus Punkten und enthält Geraden, Kreise und andere Figuren. Wir schreiben $P \in f$ um auszudrücken, dass ein Punkt $P$ auf einer Figur $f$ liegt.
Zwei Punkte $P,Q$ haben einen Abstand $\abs {PQ}$. Dieser erfüllt die folgenden Bedingungen:
Der Abstand zwischen zwei Punkten kann mit einem Lineal mit Skala gemessen werden.
Der Punkt $Q$ liegt zwischen $P$ und $R$ wenn Gleichheit gilt, also $\abs {PQ} + \abs {QR} = \abs {PR}$.
Die Gerade $PQ$ durch zwei Punkte $P$ und $Q$ besteht aus den Punkten $R$, die eine der folgenden Bedingungen erfüllen:
Das Segment $\seg {PQ}$ besteht aus den Punkten $R$, die (1) erfüllen. Der Strahl ab $P$ durch $Q$, geschrieben $\strahl {PQ}$, besteht aus den Punkten $R$, die (1) oder (2) erfüllen. Die Länge von $\seg {PQ}$ ist $\abs {PQ}$.
Wenn $P$ zwischen $Q$ und $Q'$ liegt, sind die beiden Strahlen $\strahl {PQ}$ und $\strahl {PQ'}$ komplementär. Komplementäre Strahlen haben also denselben Ausgangspunkt und ihre Vereinigung ist eine Gerade.
Die Gerade $PQ$, das Segment $\seg {PQ}$ und der Strahl $\strahl {PQ}$ können mit einem Lineal ohne Skala konstruiert werden. Insbesondere ist die Skala nicht nötig, um zu entscheiden ob ein Punkt zwischen zwei anderen liegt. Mit einem Lineal meinen wir deshalb in der Regel eins ohne Skala.
Für zwei verschiedene Punkte $P$ und $Q$ gilt:
Axiom 2(1) sagt, dass die ganze Ebene nicht leer ist und nicht aus einem einzigen Punkt oder einer einzigen Gerade besteht. Axiom 2(2) sagt, dass die Gerade $PQ$ die einzige Gerade ist, die durch $P$ und $Q$ geht. Axiom 2(3) impliziert, dass es zwischen zwei Punkten unendlich viele Punkte gibt. Axiom 2(4) impliziert, dass es auf einer Geraden jenseits eines Punkts unendlich viele Punkte gibt.
Axiom 2(5) ist das Axiom von Pasch und hat folgende Interpretation: wenn man auf Segment von $P$ nach $Q$ die Gerade $g$ überquert, dann kann man sie nicht umgehen, indem man den Umweg über $R$ nimmt. Die Gerade $g$ teilt also die Ebene in zwei Teile: die Punkte auf der Seite von $P$ und die Punkte auf der Seite von $Q$. Wir nennen diese beiden Mengen die durch $g$ bestimmten Halbebenen.
Drei Punkte, die auf einer Geraden liegen, heißen kollinear. Drei Punkte $P, Q, R$, die nicht kollinear sind bilden ein Dreieck $PQR$, dessen Ecken sie sind und dessen Kanten die Segmente $\seg {PQ}$, $\seg {QR}$, $\seg {PR}$ sind.