Verbindungsorbits in hochdimensionalen dynamischen Systemen
Beschreibung
Pulse und Fronten (allgemein wandernde Wellen) in parabolischen Systemen bilden eine wichtige Klasse
lokalisierter Strukturen, durch die Information in diffusiven Medien übertragen wird.
Sie besitzen vielfache Anwendungen in Ausbreitungsmodellen chemischer und biologischer Systeme
(siehe z.B. die Diffusions-Reaktionsgleichungen, Nervenleitungsmodelle und Populationsmodelle in [Murray 89]).
Für die Form und die Geschwindigkeit der Wellen spielen nichtlineare Reaktionsfunktionen eine
entscheidende Rolle, so daß man zu ihrer Bestimmung in der Regel auf numerische Methoden angewiesen ist.
Die Berechnung dieser Wellen erfordert die Lösung von Randwertaufgaben auf der unendlichen Achse oder
in zylinderförmigen Gebieten. Nach Umformulierung in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung
liefert eine solche Lösung gerade einen Verbindungsorbit zweier stationärer Zustände in einem
dynamischen System. Um das Stabilitätsverhalten der Welle zu verstehen, sind die Spektren des an der
Lösung linearisierten Randwertproblems zu analysieren.
Diese enthalten wegen des unbeschränkten Grundgebietes im allgemeinen sowohl kontinuierliche wie diskrete
Anteile. Bei der numerischen Berechnung wird nun einerseits das Grundgebiet eingeschränkt, andererseits
aber auch die Differentialgleichung diskretisiert.
Im Zentrum des Projekts steht die Untersuchung von Effekten, die durch solche vollständigen
Ortsdiskretisierungen entstehen. Aufbauend auf diesen Kenntnissen werden numerische Methoden
weiterentwickelt, um allgemeine Verbindungsorbits in hochdimensionalen Systemen zuverlässig zu
berechnen bzw. die in ihnen enthaltene Stabilitätsinformation aus der Approximation weniger kritischer
Eigenwerte abzulesen.
Neben ihrer Anwendung auf wandernde Wellen treten Verbindungsorbits auch direkt in parabolischen Systemen
auf, z.B. homokline Orbits als Bifurkationspunkte von Zweigen periodischer Orbits oder heterokline
Orbits als Bestandteile globaler Attraktoren in Systemen mit mehreren instabilen Zuständen.
In solchen Fällen wird ebenfalls der Einfluß von Ortsdiskretisierungen
(Galerkin- und Finite Elemente Methoden) untersucht, wobei die Zeitvariable kontinuierlich bleibt.
Nach Ortsdiskretisierung entstehen hochdimensionale dynamische Systeme, in denen Verbindungsorbits
durch geeignete Projektionsrandbedingungen berechnet werden.
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