Projekt: DFG Forschergruppe Spektrale Analysis, asymptotische Verteilungen und stochastische Prozesse

Numerische Approximation und Spektrale Analysis unendlich-dimensionaler Dynamischer Systeme

Beschreibung

Gegenstand des Projekts ist die Entwicklung und Analyse numerischer Methoden zur Approximation unendlich dimensionaler dynamischer Systeme. In den letzten Jahren sind eine Vielzahl von Methoden entwickelt worden, um das Langzeitverhalten endlich dimensionaler dynamischer Systeme direkt, d.h. ohne Langzeitsimulation von Einzeltrajektorien, zu untersuchen. Zum einen werden dabei Gleichgewichtszustände oder - allgemeiner - periodische und homokline Orbits als Lösungen von Randwertproblemen in der Zeit bestimmt. Zum anderen werden allgemeine Attraktoren durch Systeme sich verfeinernder Boxen so überdeckt, dass man mit einer Vielzahl kurzer Trajektorien auskommt. In beiden Fällen führt man anschließ end eine Spektralanalyse durch, im ersten Fall, um die Stabilität aus der Linearisierung entlang der Lösung abzulesen, im zweiten Fall, um die auf dem Attraktor verbleibende Dynamik durch Eigenwerte und Eigenmaße von Transferoperatoren (Perron Frobenius) zu beschreiben. In diesem Projekt geht es darum, methodische und analytische Fortschritte bei der Erweiterung auf unendlich dimensionale Systeme zu machen, vor allem für parabolische Differentialgleichungssysteme und dynamische Systeme auf Gittern.

In der Theorie werden die Effekte zeitlicher und räumlicher Diskretisierung untersucht, insbesondere der Übergang von unendlichen zu endlichen räumlichen Gebieten.

Als Teil dieser weit gefassten Zielsetzung werden im vorliegenden Projekt speziell zeitkontinuierliche dynamische Systeme auf unendlichen Gittern (lattice dynamical systems) untersucht, wie sie in vielen Anwendungen der statistischen Mechanik, der Biologie und der chemischen Reaktionskinetik auftreten. Für anregbare nichtlineare Systeme auf regulären Gittern findet man in der Langzeitdynamik typischerweise wandernde Fronten und Pulse (travelling waves). Für sie werden numerische Methoden entwickelt (Einschränkung auf ein endliches Gitter mit asymptotischen Randbedingungen, Stabilitätsanalyse), und es wird analysiert, wie sich das (i.a. kontinuierliche) Spektrum der Linearisierung beim Übergang zum endlichen Gitter bzw. zur räumlich kontinuierlichen partiellen Differentialgleichung verhält. Die numerischen Methoden sollen auch genutzt werden, um auf irregulären Gittern, die durch Fraktale erzeugt werden, das Spektralverhalten im linear diffusiven Fall und Gleichgewichte im nichtlinearen Fall zu studieren.

Für globale Attraktoren auf unendlichen Gittern wird angestrebt, eine approximative Methode auf einem endlichen Gitter aufzustellen, die die Translationsinvarianz des Gitters ausnutzt und geeignete Randbedingungen verwendet. Insbesondere wird das Verhalten der Spektren und Eigenmaße des Transferoperators unter dieser Approximation untersucht.

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