Numerische Spektralanalyse
unendlich-dimensionaler Transferoperatoren
Beschreibung
Das zentrale Thema des Projekts ist die numerische Analyse von
Transferoperatoren, die durch parabolische Differentialgleichungssysteme,
insbesondere semilineare Reaktions-Diffusionsgleichungen, erzeugt werden.
Die Transferoperatoren ordnen einer Anfangsverteilung von
Zuständen, bzw. allgemeiner einem Maß, die
entsprechende Verteilung zu einem späteren Zeitpunkt zu. Aus ihren
Spektraleigenschaften und zugehörigen invarianten Maßen lassen sich
wesentliche statistische Informationen über das System entnehmen, z.B. über
Attraktoren, Liapunow-Exponenten oder Subdynamiken. Die Diskretisierung der
zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichung mit Galerkin- oder Finite-Elemente-Verfahren
führt auf hochdimensionale gewöhnliche
Differentialgleichungen, für die Methoden zur Approximation invarianter
Maße und deren Träger - den Attraktoren - entwickelt werden sollen.
Das wesentliche Ziel des Projekts besteht darin, die in den letzten Jahren
neu entstandenen sogenannten mengenwertigen numerischen Methoden
(Dellnitz und Koautoren) mit Verfahren der Dimensionsreduktion
(Hauptkomponentenanalyse) so zu koppeln, dass hochdimensionale Systeme
numerisch zugänglich werden. Dabei nehmen wir an, dass sich die
Attraktoren in niedrigdimensionalen Mannigfaltigkeiten
(Inertialmannigfaltigkeiten) einbetten lassen und verwenden
Hauptkomponenten (auch POD-Moden genannt), die sich auf viele
Kurzzeittrajektorien anstelle einer Langzeittrajektorie stützen.
Verschiedene Grenzprozesse werden für diesen Zugang analysiert: die
Verfeinerung der den Attraktor überdeckenden Boxen sowie
die Zunahme der Galerkin-Moden oder der Hauptkomponenten.
Spektrale Strukturen spielen eine wichtige Rolle bei der Analyse
der Transferoperatoren und maßtheoretische Aspekte sind entscheidend
für die analytischen Untersuchungen, insbesondere für den Zusammenhang
mit stochastischen Differentialgleichungen.
Mitglieder
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