Beweis. Sei $R$ ein beliebiger Punkt. Wenn $R \in PQ$ ist $\sigma (R) = R$ und $\sigma (\tau (R)) = \tau (R)$, und die Behauptung ist klar. Wir betrachten also den Fall, wo $R$ nicht auf $PQ$ liegt. Die Verschiebung $\tau $ bildet jeden der Halbräume von $PQ$ auf sich ab. Die Spiegelung $\sigma $ vertauscht die beiden Halbräume von $PQ$. Die Punkte $R$ und $\sigma (R)$ sind die beiden Schnittpunkte von $P_R$ und $Q_R$ und die Punkte $\tau (R)$ und $\sigma (\tau (R))$ sind die beiden Schnittpunkte von $P_{\tau (R)}$ und $Q_{\tau (R)}$. Da $\tau (\sigma (R))$ der von $\tau (R)$ verschiedene Schnittpunkt von $P_{\tau (R)}$ und $Q_{\tau (R)}$ ist, ist $\tau (\sigma (R)) = \sigma (\tau (R))$. □

Beweis. Sei $\gamma $ die Gleitspiegelung mit Achse $PQ$, die $P$ auf $Q$ abbildet, wobei $P \ne Q$. Sei $\tau $ die Verschiebung, die $P$ auf $Q$ abbildet und $\sigma $ die Spiegelung an $PQ$. Wir zeigen zunächst, dass $\gamma $ keinen Fixpunkt hat. Eine Gerade $g$, die senkrecht zu $PQ$ ist, von $\sigma $ auf sich selbst abgebildet und von $\tau $ auf eine von $g$ verschiedene Parallele. Ist jetzt $R$ irgendein Punkt und $g$ das Lot auf $PQ$ durch $R$, dann ist $g = \sigma (g) \ne \tau (\sigma (g)) = \tau (g)$. Jetzt liegt $R$ auf $g$ und $\gamma (R)$ auf $\tau (g)$. Da $g$ und $\tau (g)$ sich nicht schneiden, ist $R \ne \gamma (R)$.

Nach Definition ist $\gamma $ eine Komposition einer ungeraden Anzahl von Spiegelungen (wenn wir $\tau $ als Komposition von zwei Spiegelungen schreiben). Da $\gamma $ keinen Fixpunkt hat, ist es keine Spiegelung, kann also nicht als Komposition von nur einer Spiegelung geschrieben werden. Da $\gamma $ ungerade ist, sind drei Spiegelungen also die minimale Anzahl an Spiegelungen, die nötig ist. □

Beweis. Sei $\varphi $ eine ungerade Bewegung, die keine Spiegelung ist. Da $\varphi $ keine Drehung (sondern ungerade) ist und keine Spiegelung ist, hat $\varphi $ keinen Fixpunkt. Dann hat auch auch $\varphi \circ \varphi $ keinen Fixpunkt, denn wäre $F$ ein Fixpunkt von $\varphi \circ \varphi $, dann wäre der Mittelpunkt von $F$ und $\varphi (F)$ ein Fixpunkt von $\varphi $.

Da $\varphi \circ \varphi $ eine gerade Bewegung ohne Fixpunkt ist, ist es eine Verschiebung. Sei $\tau $ die Verschiebung mit $\tau \circ \tau = \varphi \circ \varphi $ (konstruiert als die Verschiebung, die einen Punkt $A$ auf den Mittelpunkt von $A$ und $\varphi \circ \varphi (A)$ abbildet). Sei $g = P\tau (P)$ und $h = \varphi (g) = \varphi (P)\varphi (\tau (P))$. Wir behaupten, dass $\varphi (h) = g$. In der Tat ist $\varphi (\varphi (P)) \in g$ und $\varphi (\varphi (\tau (P))) = \tau (\tau (\tau (P))) \in g$. Die Abbildung $\varphi $ vertauscht also die beiden Geraden $g$ und $h$. Da $\varphi $ keinen Fixpunkt hat, müssen $g$ und $h$ parallel sein (sonst wäre der eindeutige Schnittpunkt ein Fixpunkt von $\varphi $). Insbesondere bildet $\varphi $ jede Gerade, die parallel zu $g$ ist, auf eine Gerade parallel zu $g$ ab.

Sei nun $f$ eine Senkrechte zu $g$ und $h$ die $g$ im Punkt $G$ und $h$ im Punkt $H$ schneidet und sei $M$ der Mittelpunkt von $G$ und $H$. Sei $\ell $ die Parallele zu $g$ und $h$ durch $M$. Nach Konstruktion bildet $\varphi $ die Gerade $\ell $ auf sich ab (ebenso wie $\tau $). Es folgt, dass für Punkte $P \in \ell $ gilt $\tau (P) = \varphi (P)$. Also ist $\ell $ die Fixpunktmenge von $\sigma = \varphi ^{-1} \circ \tau $, was damit eine Spiegelung ist. Folglich ist $\varphi = \tau \circ \sigma $ eine Gleitspiegelung. □