$\newcommand {\N }{\mathbb {N}}$$\newcommand {\Z }{\mathbb {Z}}$$\newcommand {\Q }{\mathbb {Q}}$$\newcommand {\R }{\mathbb {R}}$$\newcommand {\E }{\mathbb {E}}$$\newcommand {\id }{\operatorname {id}}$$\newcommand {\Isom }{\operatorname {Isom}}$$\newcommand {\defeq }{\mathrel {\mathop {:}}=}$$\newcommand {\eqdef }{=\mathrel {\mathop {:}}}$$\newcommand {\abs }[1]{\lvert #1 \rvert }$$\newcommand {\floor }[1]{\left \lfloor #1 \right \rfloor }$$\newcommand {\ceil }[1]{\left \lceil #1 \right \rceil }$$\newcommand {\seg }[1]{\overline {#1}}$$\newcommand {\strahl }[1]{\overrightarrow {#1}}$$\newcommand {\ang }{\sphericalangle }$$\newcommand {\gang }{\angle }$$\newcommand {\paritaet }{\operatorname {par}}$$\newcommand {\drehw }{\operatorname {ang}}$$\newcommand {\vektor }[1]{\underline {#1}}$$\renewcommand {\vec }{\operatorname {vec}}$$\newcommand {\protect }[1]{}$
Die Beweise mit Verschiebungen waren etwas kompliziert, weil es eine Art von Drehungen gibt, die ebenfalls Geraden auf parallele Geraden abbildet: die Drehungen um $180^\circ $. Wir nennen sie auch Punktspiegelungen. Wir müssen allerdings beachten, dass sie trotz dieser Bezeichnung keine Spiegelungen sind.
Proposition 3.17. Wenn $\tau \ne \id $ eine Verschiebung ist und $\rho $ eine Drehung, dann ist $\tau \circ \rho \ne \rho \circ \tau $.
Beweis. Sei $P$ der Fixpunkt von $\rho $. Wäre $\tau \circ \rho = \rho \circ \tau $, dann wäre insbesondere $\tau (P) = \tau (\rho (P)) = \rho (\tau (P))$, also $\tau (P)$ ein Fixpunkt von $\rho $. Der einzige Fixpunkt von $\rho $ ist $P$. Aber $\tau (P) \ne P$ weil $\tau $ eine Verschiebung und nicht die Identität ist. Also ist $\tau \circ \rho \ne \rho \circ \tau $. □
Problem 3.18. Konstruiere ein Dreieck $PQR$ mit $\abs {PQ} = \abs {PR}$ wobei $\abs {QR}$ und $\gang RPQ$ vorgegeben sind.
Konstruktion. Konstruiere mithilfe von Übung 1 das Dreieck $MPQ$ wobei $\gang PQM$ die Hälfte des vorgegebenen Winkels ist, $\abs {MP}$ die Hälfte der vorgegebenen Länge und $\gang QMP$ ein rechter Winkel. Sei $R$ der zweite Schnittpunkt von $M_P$ mit $MP$. $\Diamond $
Beweis. Da $\gang QMP$ ein rechter Winkel ist, sind die beiden Dreiecke $PQM$ und $PRM$ kongruent zueinander durch Spiegelung an $QM$. Damit ist der Winkel $\gang PQM$ doppelt so groß wie der Winkel $\gang PQM$, also so groß wie gefordert. Außerdem ist $\abs {PR} = 2\abs {MP}$ also so groß wie gefordert. Schließlich ist $\abs {PQ} = \abs {RQ}$. □
Proposition 3.19. Wenn $\tau $ eine Verschiebung ist und $\rho $ eine Drehung, dann ist $\rho \circ \tau $ eine Drehung.
Beweis. Wenn $\tau = \id $ ist die Behauptung trivial, wir nehmen also an, dass $\tau \ne \id $. Sei $P$ der Fixpunkt von $\rho $. Um die Behauptung zu beweisen, wollen wir den Fixpunkt von $\rho \circ \tau $ bestimmen, also den Punkt $Q$ mit $\rho (\tau (Q)) = Q$. Mit anderen Worten wollen wir, dass $\tau (Q) = \rho ^{-1}(Q)$ ist. Sei $PQR$ das Dreieck, das wie folgt beschrieben ist: $P$ ist der Fixpunkt von $\rho $; das Segment $\seg {QR}$ ist parallel zu $\seg {P\tau (P)}$, der Winkel $\gang RPQ$ ist der Winkel um den $\rho $ dreht (wenn also $\rho (A) = B$, dann ist $\gang RPQ \equiv \gang APB$), es ist $\abs {PQ} = \abs {QR}$. Diese Art Dreieck haben wir in Problem 3.18 konstruiert. Wir behaupten, dass $Q$ der gewünschte Fixpunkt ist.
Da $\seg {QR}$ parallel zu $\seg {P\tau (P)}$ ist, ist $\tau (Q) = R$. Da außerdem $\abs {PQ} = \abs {QR}$ ist und $\gang RPQ$ der Drehwinkel, ist $\rho (R) = Q$. Damit ist $Q$ der gewünschte Fixpunkt. Es bleibt zu zeigen, dass $\rho \circ \tau $ keinen weiteren Fixpunkt hat. Da $\rho \circ \tau $ gerade ist, bleibt nach Proposition 3.12 nur die Möglichkeit, dass es die Identität sein könnte, was aber nicht der Fall ist, weil $P$ kein Fixpunkt ist. □
Folgerung 3.20. Wenn $\tau $ eine Verschiebung ist und $\rho $ eine Drehung, dann ist $\tau \circ \rho $ eine Drehung.
Beweis. Nach der Proposition ist $\rho ^{-1} \circ \tau ^{-1}$ eine Drehung $\rho '$. Dann ist aber $\tau \circ \rho = {\rho '}^{-1}$ ebenfalls eine Drehung. □
Beweis. Im Beweis von Satz 1.9 haben wir gesehen, dass jede Bewegung $\varphi $ geschrieben werden kann als $\varphi = \sigma \circ \rho \circ \tau $ wobei $\sigma $ die Identität oder eine Spiegelung, $\rho $ eine Drehung und $\tau $ eine Verschiebung ist. Nach Proposition 3.19 ist aber $\rho \circ \tau = \rho '$ eine Drehung, die nach Proposition 3.6 die Komposition $\rho ' = \sigma ' \circ \sigma ''$ zweier Spiegelungen ist. Es ist also $\varphi = \sigma \circ \sigma ' \circ \sigma ''$ die Komposition von höchstens drei Spiegelungen. □
Bemerkung 3.22. Man kann Folgerung 3.21 auch zeigen, indem im Beweis von Satz 1.9 statt der Verschiebung und der Drehung jeweils eine Spiegelungen verwendet.
Aus Proposition 3.19 folgt, dass die Menge der Drehungen und Verschiebungen eine Gruppe ist. Proposition 3.17 besagt, dass diese Gruppe nicht abelsch ist. Wir haben hier allerdings keine neue Gruppe gefunden, sondern die Gruppe der geraden Bewegungen wiederentdeckt:
Beweis. Sei $\varphi $ eine gerade Bewegung. Nach Folgerung 3.21 können wir $\varphi $ als Komposition von höchstens drei Spiegelungen schreiben. Da $\varphi $ gerade ist, sind es entweder null oder zwei Spiegelungen. Wenn es zwei Spiegelungen sind, ist die Komposition nach Proposition 3.5 eine Verschiebung oder eine Drehung. Wenn es null Spiegelungen sind, ist $\varphi = \id $, was nach Definition sowohl eine Verschiebung als auch eine Drehung ist. □