Abbildung 12: Die zwei Fälle in Proposition 2.7.
$\newcommand {\N }{\mathbb {N}}$$\newcommand {\Z }{\mathbb {Z}}$$\newcommand {\Q }{\mathbb {Q}}$$\newcommand {\R }{\mathbb {R}}$$\newcommand {\E }{\mathbb {E}}$$\newcommand {\id }{\operatorname {id}}$$\newcommand {\Isom }{\operatorname {Isom}}$$\newcommand {\defeq }{\mathrel {\mathop {:}}=}$$\newcommand {\eqdef }{=\mathrel {\mathop {:}}}$$\newcommand {\abs }[1]{\lvert #1 \rvert }$$\newcommand {\floor }[1]{\left \lfloor #1 \right \rfloor }$$\newcommand {\ceil }[1]{\left \lceil #1 \right \rceil }$$\newcommand {\seg }[1]{\overline {#1}}$$\newcommand {\strahl }[1]{\overrightarrow {#1}}$$\newcommand {\ang }{\sphericalangle }$$\newcommand {\gang }{\angle }$$\newcommand {\paritaet }{\operatorname {par}}$$\newcommand {\drehw }{\operatorname {ang}}$$\newcommand {\vektor }[1]{\underline {#1}}$$\renewcommand {\vec }{\operatorname {vec}}$$\newcommand {\protect }[1]{}$
Wir wollen den Flächeninhalt von gradlinigen Figuren definieren. Das machen wir nach folgenden Regeln: kongruente Figuren haben den gleichen Flächeninhalt. Entfernt man von Figuren $f_1$ und $f_2$ mit gleichem Flächeninhalt Figuren $g_1$ und $g_2$ mit gleichem Flächeninhalt, dann haben die resultierenden Figuren gleichen Flächeninhalt. Fügt man zu Figuren $f_1$ und $f_2$ mit gleichem Flächeninhalt Figuren $g_1$ und $g_2$ mit gleichen Flächeninhalt hinzu, dann die resultierenden Figuren gleichen Flächeninhalt. Wenn eine Figur $f$ in $m$ Teile $g_1,\ldots ,g_m$ mit gleichem Flächeninhalt zerlegt werden kann, dann ist der Flächeninhalt von $f$ der $m$-fache Flächeninhalt der $g_i$. Ein Rechteck mit Kantenlängen $1$ und $m$ hat Flächeninhalt $m$. Wenn zwei Figuren gleichen Flächeninhalt haben, sagen wir auch kurz, dass sie flächengleich sind.
Proposition 2.6. Wenn $ABCD$ eine Parallelogramm ist, dann sind die Dreiecke $ABD$ und $CDB$ kongruent und haben deshalb den halben Flächeninhalt des Parallelogramms.
Der Beweis ist im Beweis von Proposition 2.4 enthalten.
Proposition 2.7. Seien $g$ und $h$ parallele Geraden und seien $ABCD$ und $EBCF$ Parallelogramme mit $A,D,E,F \in g$ und $B, C \in h$. Dann haben $ABCD$ und $EBCF$ gleichen Flächeninhalt.
Beweis. Wir unterscheiden zwei Fälle: Im ersten Fall sind die Punkte auf $g$ in der Reihenfolge $A, E, D, F$ angeordnet, im zweiten Fall in der Reihenfolge $A,D,E,F$. Es gibt noch weitere Fälle, die sich aber durch umbenennen auf einen dieser beiden zurückführen lassen.
Wir betrachten die beiden Fälle getrennt, stellen aber zunächst Vorüberlegungen an. Da $ABCD$ und $EBCF$ Parallelogramme sind, ist $\abs {AD} = \abs {BC} = \abs {EF}$. Außerdem ist $\abs {AB} = \abs {CD}$ und $\abs {BE} = \abs {CF}$.
Fall 1: Durch Entfernen des Vierecks $EBCD$ aus den Parallelogrammen $ABCD$ und $EBCF$ erhalten wir die Dreiecke $ABE$ und $DCF$. Hier ist $\abs {AE} = \abs {AD} - \abs {ED} = \abs {EF} - \abs {ED} = \abs {DF}$. Zusammen mit den Vorüberlegungen sehen wir, dass die beiden Dreiecke nach dem Kongruenzsatz „SSS“ kongruent sind.
Fall 2: Hier schneiden sich $\seg {BE}$ und $\seg {CD}$ in einem Punkt $G$. Nach dem Kongruenzsatz „SSS“ sind die Dreiecke $ABE$ und $DCF$ kongruent. Durch entfernen des Dreieck $DGE$ erhalten wir flächengleiche Vierecke $ABGD$ und $EGCF$. Durch Hinzufügen des Dreiecks $BCG$ erhalten wir, dass $ABCD$ und $EBCF$ flächengleich sind, wie gewünscht. □
Folgerung 2.8. Seien $g$ und $h$ parallele Geraden und seien $ABCD$ und $EFGH$ Parallelogramme mit $A,D,E,H \in g$, $B, C, F, G \in h$ und $\abs {BC} = \abs {FG}$. Dann haben $ABCD$ und $EFGH$ den gleichen Flächeninhalt.
Beweis. Nach Proposition 2.7 sind die Parallelogramme $ABCD$ und $EBCH$ flächengleich. Außerdem sind die Parallelogramme $EBCH$ und $EFGH$ flächengleich. Also sind auch $ABCD$ und $EBCH$ flächengleich. □
Folgerung 2.9. Wenn $g$ und $h$ parallele Geraden sind und $ABC$ und $DEF$ Dreiecke mit $A, D \in g$, $B,C,E,F \in h$ und $\abs {BC} = \abs {EF}$, dann haben $ABC$ und $DEF$ gleichen Flächeninhalt.
Beweis. Wir können die Dreiecke zu Parallelogrammen ergänzen, die nach Folgerung 2.8 gleichen Flächeninhalt haben. Die Aussage folgt, weil der Flächeninhalt der Dreiecke halb so groß ist, wie der, der Parallelogramme. □
Satz 2.10 (Kathetensatz). Sei $ABC$ ein Dreieck und $\gang BAC$ ein rechter Winkel. Sei $M$ der Fußpunkt des Lots von $M$ auf $BC$. Der Flächeninhalt des Quadrats mit Kantenlänge $\abs {AB}$ ist gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit Kantenlängen $\abs {BM}$ und $\abs {BC}$. Der Flächeninhalt des Quadrats mit Kantenlänge $\abs {AC}$ ist gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit Kantenlängen $\abs {MC}$ und $\abs {BC}$.
Beweis. Wir konstruieren Punkte $D,E,F,G,H,K$ durch die Quadrate in Abbildung 14 und $L$ als den Fußpunkt des Lots auf $DE$ durch $L$.
Weil $\gang BAG$ und $\gang BAC$ rechte Winkel sind, sind $A$, $C$ und $G$ kollinear.
Es ist $\gang DBA \equiv \gang FBC$ weil beide Winkel $\gang ABC$ plus ein rechter sind. Da $\abs {BD} = \abs {BC}$ und $\abs {AB} = \abs {BF}$ ist, folgt aus dem Kongruenzsatz SWS, dass die Dreiecke $BCF$ und $BDA$ kongruent sind. Insbesondere haben sie den gleichen Flächeninhalt.
Nach Folgerung 2.9 (angewendet auf die parallelen Geraden $BF$ und $AC$) hat $BCF$ den gleichen Flächeninhalt wie $BGF$. Das ist nach Proposition 2.6 der halbe Flächeninhalt des Parallelogramms $BAGF$. Aus dem gleichen Grund hat $BDA$ den gleichen Flächeninhalt wie $BDL$, was der halbe Flächeninhalt von $BDLM$ ist.
Gleiche Argument zeigt die zweite Aussage. □
Folgerung 2.11 (Satz des Pythagoras). Wenn $ABC$ ein Dreieck mit rechtem Winkel $\gang BAC$ ist, dann ist der Flächeninhalt des Quadrats mit Kantenlänge $\abs {BC}$ gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate mit Kantenlänge $\abs {AB}$ und $\abs {AC}$.
Beweis. Wir verwenden wieder Abbildung 14. Das Quadrat $BCDE$ besteht aus den Rechtecken $BDLM$ und $MLEC$. Die Behauptung folgt deshalb aus dem Kathetensatz. □
