Abbildung 11: Die Konfiguration in Proposition 2.3
$\newcommand {\N }{\mathbb {N}}$$\newcommand {\Z }{\mathbb {Z}}$$\newcommand {\Q }{\mathbb {Q}}$$\newcommand {\R }{\mathbb {R}}$$\newcommand {\E }{\mathbb {E}}$$\newcommand {\id }{\operatorname {id}}$$\newcommand {\Isom }{\operatorname {Isom}}$$\newcommand {\defeq }{\mathrel {\mathop {:}}=}$$\newcommand {\eqdef }{=\mathrel {\mathop {:}}}$$\newcommand {\abs }[1]{\lvert #1 \rvert }$$\newcommand {\floor }[1]{\left \lfloor #1 \right \rfloor }$$\newcommand {\ceil }[1]{\left \lceil #1 \right \rceil }$$\newcommand {\seg }[1]{\overline {#1}}$$\newcommand {\strahl }[1]{\overrightarrow {#1}}$$\newcommand {\ang }{\sphericalangle }$$\newcommand {\gang }{\angle }$$\newcommand {\paritaet }{\operatorname {par}}$$\newcommand {\drehw }{\operatorname {ang}}$$\newcommand {\vektor }[1]{\underline {#1}}$$\renewcommand {\vec }{\operatorname {vec}}$$\newcommand {\protect }[1]{}$
Proposition 2.3. Wenn zwei Geraden $g$ und $h$ von einer Geraden $f$ wie in Abbildung 11 geschnitten werden und
dann ist $g$ parallel zu $h$.
Wenn umgekehrt $g$ parallel zu $h$ ist dann gilt jede der Bedingungen (1), (2) und (3).
Beweis. Wir beobachten zunächst, dass wegen des Nebenwinkelsatzes 1.13 $\alpha = \delta = 180^\circ - \gamma $ ist. Die Bedingungen (1), (2) und (3) sind also äquivalent.
Wir nehmen (3) an und wollen zeigen, dass $g$ und $h$ parallel sind. Angenommen, das wären sie nicht, dann hätten sie einen Schnittpunkt $R$. Dann wäre $PQR$ ein Dreieck mit $\gang QPR = \gamma $ und $\gang PQR = \beta $ (oder, wenn der Schnittpunkt auf der anderen Seite von $f$ liegt, $\gang QPR = \alpha \equiv \beta $ und $\gang PQR \equiv \gamma $). Nach Voraussetzung ist aber $\beta + \gamma = 180^\circ $ was schon die Winkelsumme im Dreieck ist (Proposition 1.22), so dass $\gang QRP = 0^\circ $ sein müsste, was nicht sein kann.
Wir wollen jetzt die umgekehrte Richtung zeigen: wenn $g$ und $h$ parallel sind, dann ist $\beta + \gamma = 180^\circ $. Sei dazu $h'$ die Gerade durch $Q$ deren Winkel $\beta '$ die Bedingung $\beta ' + \gamma = 180^\circ $ erfüllt. Aus dem ersten Teil wissen wir, dass $g$ und $h'$ parallel sind. Nach dem Parallelenaxiom 4 gibt es aber genau eine Parallele zu $g$ durch $Q$, also ist $h = h'$ und damit $\beta = \beta '$. □
Übung 2. Seien $g,h,\ell ,m$ Geraden, $\ell \parallel m$. Zeigen Sie, dass wenn der Winkel den $g$ und $m$ einschließen kongruent ist zu dem Winkel, den $h$ und $\ell $ auf der gleichen Seite einschließen, dann ist $g \parallel h$.
Proposition 2.4. Wenn $PQRS$ ein Parallelogramm ist, dann ist $\abs {PQ} = \abs {RS}$ und $\abs {QR} = \abs {PS}$.
Beweis. Da $PS$ und $QR$ parallel sind, sind $\gang PSQ$ und $\gang SQR$ wechselseitige Winkel und deshalb nach Proposition 2.3 kongruent. Genauso sind $\gang PQS$ und $\gang SQR$ wechselseitige Winkel und damit kongruent. Die beiden Dreiecke $PQS$ und $RQS$ haben somit eine gleichlange Seite, die von zwei kongruenten Winkeln eingeschlossen wird. Nach dem Kongruenzsatz WSWsind sie also kongruent und insbesondere $\abs {PQ} = \abs {RS}$ und $\abs {PS} = \abs {QR}$. □
Das motiviert die folgende Definition: zwei Segmente $\seg {PQ}$ und $\seg {RS}$ sind parallel, wenn $PQ$ und $RS$ parallel sind und $\abs {PQ} = \abs {RS}$.
Proposition 2.5. Wenn Segmente $\seg {PQ}$ und $\seg {RS}$ parallel sind, dann ist $PQRS$ (oder $PQSR$) ein Parallelogramm.
Beweis. Nach Proposition 2.3 sind die wechselseitigen Winkel $\gang PQS$ und $\gang RSQ$ kongruent. Außerdem sind die Seiten $\seg {PQ}$ und $\seg {RS}$ gleich lang. Nach dem Kongruenzsatz „SWS“ folgt, dass die Dreiecke $PSQ$ und $RQS$ kongruent sind. Insbesondere ist $\gang PSQ \equiv \gang RQS$.
Das sind aber gerade die wechselseitigen Winkel von $QS$ bezüglich der beiden Geraden $PS$ und $QR$. Da sie gleich groß sind, sind die beiden Geraden also nach Proposition 2.3 parallel. □