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In diesem Abschnitt wollen wir uns einige von Euklids Aussagen und Konstruktionen aus den „Elementen“ ansehen. Einige haben wir bereits gesehen: Problem 1.2 und Problem 1.1 und der Konruenzsatz SWS sind die Propositionen 1, 2, und 4 im ersten Buch der Elemente. Die Grundkonstruktionen einen Winkel zu halbieren, eine Strecke zu halbieren, das Lot zu fällen, einen Winkel zu übertragen und die Paralle durch einen Punkt zu konstruieren sind die Propositionen 9 bis 12, 23 und 31. Der Gegenwinkelsatz ist Proposition 15. Die Dreiecksungleichung (unser Axiom 1(3)) ist bei Euklid Proposition 20. Die Kongruenzsätze WSW und WWS sind Euklids Proposition 26. Der Satz über die Winkelsumme im Dreieck (unsere Proposition 1.22) ist Euklids Proposition 32.
Problem 2.1. Seien $a = \seg {A_1A_2}$, $b = \seg {B_1B_2}$ und $c = \seg {C_1C_2}$ Segmente, deren Längen die drei Dreiecksungleichungen erfüllen, also $\abs {A_1A_2} \le \abs {B_1B_2} + \abs {C_1C_2}$, $\abs {B_1B_2} \le \abs {A_1A_2} + \abs {C_1C_2}$, $\abs {C_1C_2} \le \abs {A_1A_2} + \abs {C_1C_2}$. Konstruiere ein Dreieck $PQR$ mit $\abs {PQ} = \abs {A_1A_2}$, $\abs {QR} = \abs {B_1B_2}$ und $\abs {PR} = \abs {C_1C_2}$.
Konstruktion. Wähle $P = A_1$, $Q = A_2$ und $R$ als den Schnittpunkt von $P_{C_1C_2}$ und $Q_{B_1B_2}$. $\Diamond $
Folgerung 2.2. Drei Längen $\abs {A_1A_2}$, $\abs {B_1B_2}$ und $\abs {C_1C_2}$ sind genau dann die Kantenlängen eines Dreiecks, wenn sie die drei Dreiecksungleichungen erfüllen.