Abbildung 15: Regelmäßige Sägeblätter mit $n$ Zähnen
für $3 \le n \le 10$.
$\newcommand {\N }{\mathbb {N}}$$\newcommand {\Z }{\mathbb {Z}}$$\newcommand {\Q }{\mathbb {Q}}$$\newcommand {\R }{\mathbb {R}}$$\newcommand {\E }{\mathbb {E}}$$\newcommand {\id }{\operatorname {id}}$$\newcommand {\Isom }{\operatorname {Isom}}$$\newcommand {\defeq }{\mathrel {\mathop {:}}=}$$\newcommand {\eqdef }{=\mathrel {\mathop {:}}}$$\newcommand {\abs }[1]{\lvert #1 \rvert }$$\newcommand {\floor }[1]{\left \lfloor #1 \right \rfloor }$$\newcommand {\ceil }[1]{\left \lceil #1 \right \rceil }$$\newcommand {\seg }[1]{\overline {#1}}$$\newcommand {\strahl }[1]{\overrightarrow {#1}}$$\newcommand {\ang }{\sphericalangle }$$\newcommand {\gang }{\angle }$$\newcommand {\paritaet }{\operatorname {par}}$$\newcommand {\drehw }{\operatorname {ang}}$$\newcommand {\vektor }[1]{\underline {#1}}$$\renewcommand {\vec }{\operatorname {vec}}$$\newcommand {\protect }[1]{}$
Sei $M \subseteq \E ^2$ und $\varphi \colon \E ^2 \to \E ^2$ eine Bewegung. Wir sagen, dass $\varphi $ eine Symmetrie von $M$ ist, wenn jeder Punkt von $M$ auf einen Punkt von $M$ abgebildet wird und jeder Punkt außerhalb von $M$ auf einen Punkt außerhalb für $M$, d.h. für jeden Punkt $P$ gilt $P \in M$ genau dann, wenn $\varphi (P) \in M$. Für praktische Zwecke erweitern wir den Begriff auf Bilder (jedem Punkt der Ebene ist eine Farbe zugeordnet), indem wir sagen, dass eine Bewegung $\varphi $ eine Symmetrie eines Bildes ist, wenn jeder Punkt auf einen Punkt derselben Farbe abgebildet wird. Aussagen über Symmetrien für Mengen verallgemeinern sich auf Bilder indem wir für jede mögliche Farbe die Menge der Punkte betrachten, die diese Farbe haben und dann die Symmetrien all dieser Mengen betrachten.
Man nennt diese Gruppe die Symmetriegruppe der Menge.
Beweis. Sei $M \subseteq \E ^2$ eine Menge. Die Identität ist eine Symmetrie von $M$, weil sie jeden Punkt auf sich abbildet.
Sei $\varphi $ eine Symmetrie von $M$. Wir wollen zeigen, dass $\varphi ^{-1}$ ebenfalls eine Symmetrie von $M$ ist. Sei dazu $P$ ein beliebiger Punkt. Sei $Q \defeq \varphi ^{-1}(P)$. Nach Definition von Symmetrie ist $Q \in M$ genau dann, wenn $\varphi (Q) = P \in M$. Also ist $P \in M$ genau dann, wenn $\varphi ^{-1}(P) = Q \in M$. Also ist $\varphi ^{-1}$ eine Symmetrie von $M$.
Seien $\varphi $ und $\psi $ Symmetrien von $M$. Wir wollen zeigen, dass $\varphi \circ \psi $ ebenfalls eine Symmetrie von $M$ ist. Sei wieder $P$ ein beliebiger Punkt. Sei $Q = \psi (P)$ und $R = \varphi (Q) = (\varphi \circ \psi ) (P)$. Da $\psi $ eine Symmetrie von $M$ ist sind $P$ und $Q$ entweder beide in $M$ oder beide nicht in $M$. Da $\varphi $ eine Symmetrie von $M$ ist, sind $Q$ und $R$ entweder beide in $M$ oder beide nicht in $M$. Also sind $P$ und $R$ entweder beide in $M$ oder beide nicht in $M$. □
Satz 3.4. Wenn die Symmetriegruppe einer Menge $M \subseteq \E ^2$ endlich ist, gilt einer der folgenden Fälle:
Die erste Sorte von Gruppen nennt man endliche zyklische Gruppen und bezeichnet sie mit $C_n$. Die zweite Sort von Gruppen nennt man endliche Diedergruppen und bezeichnet sie mit $D_n$. Typische Beispiele für $D_n$-Symmetrien sind die regelmäßigen $n$-Ecke (Abbildung 10). Beispiele für $C_n$-Symmetrien erhält man, indem man die Spiegelungssymmetrie bricht, zum Beispiel durch Sägezähne wie in Abbildung 15.