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Proposition 3.13. Eine Bewegung $\tau $ ist eine Verschiebung genau dann, wenn für beliebige Punkte $P$ und $Q$ das Viereck $PQ\tau (Q)\tau (P)$ ein Parallelogramm ist (eventuell degeneriert).
Insbesondere bewegen Verschiebungen jeden Punkt um denselben Abstand $\abs {P\tau (P)} = \abs {Q\tau (Q)}$.
Beweis. Seien $P$ und $Q$ zwei Punkte. Wir nehmen an, dass $\tau $ eine Verschiebung ist und zeigen, dass $PQ\tau (Q)\tau (P)$ ein Parallelogramm ist. Da $\tau $ eine Verschiebung ist, bildet es die Gerade $P\tau (P)$ auf eine parallele Gerade ab, die $\tau (P)$ enthält, also auf sich selbst. Außerdem sind $PQ$ und $\tau (PQ)$ parallel weil $\tau $ eine Bewegung ist. Damit ist $PQ\tau (Q)\tau (P)$ ein Parallelogramm (eventuell degeneriert, wenn die zwei der parallelen Geraden gleich sind).
Aus der Parallelogramm-Bedigung folgt zusammen mit Proposition 2.4 die Aussage, dass alle Punkte um denselben Abstand bewegt werden.
Sei jetzt $\tau $ eine Bewegung, die die Parallelogramm-Bedingung erfüllt. Da sie jeden Punkt um denselben Abstand bewegt ist entweder jeder Punkt ein Fixpunkt (und $\tau = \id $) oder keiner. Wenn $\tau $ keinen Fixpunkt hat, folgt außerdem, dass eine beliebige Gerade $PQ$ auf die parallele Gerade $\tau (P)\tau (Q)$ abgebildet wird. Damit ist $\tau $ eine Verschiebung. □
Proposition 3.14. Wenn $\tau _1$ und $\tau _2$ Verschiebungen sind, ist $\tau _2 \circ \tau _1$ auch eine Verschiebung.
Beweis. Seien $P$ und $Q$ Punkte. Da $\tau _1$ eine Verschiebung ist, ist $\seg {PQ}$ parallel zu $\seg {\tau _1(P)\tau _1(Q)}$. Da $\tau _2$ eine Verschiebung ist, ist $\seg {\tau _1(P)\tau _1(Q)}$ parallel zu $\seg {\tau _2(\tau _1(P))\tau _2(\tau _1(Q))}$. Also ist $\seg {PQ}$ parallel zu $\seg {\tau _2(\tau _1(P))\tau _2(\tau _1(Q))}$ und damit $PQ\tau _2(\tau _1(Q))\tau _2(\tau _1(P))$ nach Proposition 2.5 ein Parallelogramm. Damit folgt die Behauptung aus Proposition 3.13. □
Außerdem gilt:
Proposition 3.15. Wenn $\tau _1$ und $\tau _2$ Verschiebungen sind, ist $\tau _1 \circ \tau _2 = \tau _2 \circ \tau _1$.
Beweis. Sei $P \in \E ^2$ beliebig. Die Segmente $\seg {P\tau _2(P)}$ und $\seg {\tau _1(P)\tau _2(\tau _1(P))}$ sind parallel. Also ist $P\tau _2(P)\tau _2(\tau _1(P))\tau _1(P)$ nach Proposition 2.5 ein Parallelogramm. Folglich sind $\seg {P\tau _1(P)}$ und $\seg {\tau _2(P)\tau _2(\tau _1(P))}$ parallel. Das heißt $\tau _2(\tau _1(P))$ ist das Bild unter $\tau _1$ von $\tau _2(P)$ oder kurz $\tau _2(\tau _1(P)) = \tau _1(\tau _2(P))$. □
Nach Definition ist die Identität eine Verschiebung, außerdem ist die Inverse einer Verschiebung eine Verschiebung. Aus Proposition 3.14 folgt deshalb, dass Verschiebungen eine Gruppe bilden (eine Untergruppe der Gruppe der Bewegungen). Eine Gruppe in der $\varphi \circ \psi = \psi \circ \varphi $ ist heißt abelsch, nach Proposition 3.15 ist die Gruppe der Verschiebungen also abelsch.
Proposition 3.16. Wenn $\varphi $ eine Bewegung ist und $\tau '$ eine Verschiebung, dann ist $\tau \defeq \varphi \circ \tau \circ \varphi ^{-1}$ eine Verschiebung.
Beweis. Seien $P$ und $Q$ beliebige Punkte. Wir wollen zeigen, dass $PQ\tau (Q)\tau (P)$ ein Parallelogramm ist. Sei dazu $P' \defeq \varphi ^{-1}(P)$ und $Q' \defeq \varphi ^{-1}(Q)$. Da $\tau $ eine Verschiebung ist, ist $P'Q'\tau '(Q')\tau '(P')$ ein Parallelogramm (Proposition 3.13). Nun ist aber
also $PQ\tau (Q)\tau (P) = \varphi (P'Q'\tau '(Q')\tau '(P'))$. Weil die Bewegung $\varphi $ parallele Geraden auf parallele Geraden abbildet, ist also $PQ\tau (Q)\tau (P)$ ebenfalls ein Parallelogramm. Damit ist $\tau $ nach Proposition 3.13 eine Verschiebung. □