$\newcommand {\N }{\mathbb {N}}$$\newcommand {\Z }{\mathbb {Z}}$$\newcommand {\Q }{\mathbb {Q}}$$\newcommand {\R }{\mathbb {R}}$$\newcommand {\E }{\mathbb {E}}$$\newcommand {\id }{\operatorname {id}}$$\newcommand {\Isom }{\operatorname {Isom}}$$\newcommand {\defeq }{\mathrel {\mathop {:}}=}$$\newcommand {\eqdef }{=\mathrel {\mathop {:}}}$$\newcommand {\abs }[1]{\lvert #1 \rvert }$$\newcommand {\floor }[1]{\left \lfloor #1 \right \rfloor }$$\newcommand {\ceil }[1]{\left \lceil #1 \right \rceil }$$\newcommand {\seg }[1]{\overline {#1}}$$\newcommand {\strahl }[1]{\overrightarrow {#1}}$$\newcommand {\ang }{\sphericalangle }$$\newcommand {\gang }{\angle }$$\newcommand {\paritaet }{\operatorname {par}}$$\newcommand {\drehw }{\operatorname {ang}}$$\newcommand {\vektor }[1]{\underline {#1}}$$\renewcommand {\vec }{\operatorname {vec}}$$\newcommand {\protect }[1]{}$
Wir definieren die Parität einer Bewegung als $\paritaet \varphi \defeq 0$ wenn $\varphi $ gerade ist und als $\paritaet \varphi \defeq 1$ wenn $\varphi $ ungerade ist.
Proposition 3.43. Sei $\ell $ eine beliebige Gerade. Jede Bewegung $\varphi $ lässt sich eindeutig schreiben als $\varphi = \psi \circ \zeta $ wobei $\psi $ eine gerade Bewegung ist und $\zeta $ die Gerade $\ell $ fixiert. Genauer ist $\zeta = \sigma _\ell ^{\paritaet \varphi }$.
Beweis. Wenn $\zeta = \sigma ^{\paritaet \varphi }$ ist, ist $\psi = \varphi \circ \zeta $ gerade.
Soll umgekehrt $\psi $ gerade sein, muss $\zeta = \sigma _\ell $ sein wenn $\varphi $ ungerade ist und die Identität wenn $\varphi $ gerade ist. □
Mithilfe der Proposition haben wir allgemeine Bewegungen in zwei Teile zerlegt: die Parität und eine gerade Bewegung. Der nächste Schritt ist, gerade Bewegungen weiter zu zerlegen.
Wir setzen jetzt Proposition 3.27, Proposition 3.42 und Proposition 3.43 zusammen und erhalten den folgenden Satz.
Satz 3.44. Sei $P$ ein beliebiger Punkt und $\ell $ eine beliebige Gerade. Jede Bewegung $\varphi $ ist eindeutig beschrieben durch einen Vektor $\vektor {v}$, einen algebraischen Winkel $\alpha $ und eine Parität $\varepsilon $ so dass gilt
Diese Parameter ergeben sich wie folgt: die Parität $\varepsilon = \paritaet \varphi $ ist die von $\varphi $, der Winkel ist der Drehwinkel $\alpha = \ang \psi $ von $\psi = \varphi \circ \sigma _\ell ^{\varepsilon }$, der Vektor ist der Verschiebungsvektor $\vektor {v} = \vec \tau $ von $\tau = \psi \circ \rho _{P,\alpha }^{-1}$.
Beweis. Nach Proposition 3.43 lässt sich $\varepsilon $ eindeutig in eine gerade Bewegung $\psi $ und $\sigma _\ell ^{\paritaet \varphi }$ zerlegen. Nach Proposition 3.42 lässt sich die Gerade Bewegung $\psi $ eindeutig in eine Verschiebung $\tau $ und eine Drehung $\rho _{P,\ang \psi }$ zerlegen. Schließlich ist nach Proposition 3.27 die Verschiebung $\tau $ eindeutig durch ihren Verschiebungsvektor bestimmt. □