$\newcommand {\N }{\mathbb {N}}$$\newcommand {\Z }{\mathbb {Z}}$$\newcommand {\Q }{\mathbb {Q}}$$\newcommand {\R }{\mathbb {R}}$$\newcommand {\E }{\mathbb {E}}$$\newcommand {\id }{\operatorname {id}}$$\newcommand {\Isom }{\operatorname {Isom}}$$\newcommand {\defeq }{\mathrel {\mathop {:}}=}$$\newcommand {\eqdef }{=\mathrel {\mathop {:}}}$$\newcommand {\abs }[1]{\lvert #1 \rvert }$$\newcommand {\floor }[1]{\left \lfloor #1 \right \rfloor }$$\newcommand {\ceil }[1]{\left \lceil #1 \right \rceil }$$\newcommand {\seg }[1]{\overline {#1}}$$\newcommand {\strahl }[1]{\overrightarrow {#1}}$$\newcommand {\ang }{\sphericalangle }$$\newcommand {\gang }{\angle }$$\newcommand {\paritaet }{\operatorname {par}}$$\newcommand {\drehw }{\operatorname {ang}}$$\newcommand {\vektor }[1]{\underline {#1}}$$\renewcommand {\vec }{\operatorname {vec}}$$\newcommand {\protect }[1]{}$
Man kann Axiom 2(2) auch wie folgt formulieren:
Beweis durch Kontraposition. Seien $g$ und $h$ Geraden. Die Behauptung ist, dass wenn $g$ und $h$ verschieden sind, dann schneiden sie sich in höchstens einem Punkt.
Die Kontraposition lautet: wenn $g$ und $h$ sich in mindestens zwei Punkten schneiden, dann sind sie gleich. Nehmen wir also an, $g$ und $h$ enthalten zwei verschiedene Punkte $P$ und $Q$. Nach Axiom 2(2) liegen $P$ und $Q$ auf genau einer Geraden, also gilt $g = PQ = h$. □
Beweis durch Widerspruch. Seien $g$ und $h$ Geraden. Wir nehmen an, dass $g$ und $h$ verschieden sind und sich dennoch in mindestens zwei Punkten schneiden. Daraus wollen wir einen Widerspruch herleiten.
Nennen wir zwei der Punkte in denen sich $g$ und $h$ schneiden $P$ und $Q$. Dann gibt es mit $g$ und $h$ zwei Geraden, die beide durch $P$ und $Q$ gehen. Das widerspricht Axiom 2(2). Also muss die Annahme falsch sein und $g$ und $h$ können sich nicht in zwei verschiedenen Punkten schneiden. □
Wir nennen zwei Geraden parallel wenn sie entweder gleich sind, oder keinen gemeinsamen Punkt haben. Nach Proposition 1.3 sind zwei Geraden entweder parallel oder sie schneiden sich in genau einem Punkt. Das folgende Axiom geht auf Euklid zurück und unterscheidet die euklidische Geometrie von anderen möglichen Geometrien:
Axiom 4 (Parallelen-Axiom). Wenn $g$ eine Gerade ist und $P$ ein Punkt, dann existiert genau eine Gerade, die parallel zu $g$ ist und durch $P$ geht.
Die Punkte $P,Q,R$ sind kollinear wenn sie auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Wenn nicht, bilden sie ein Dreieck $PQR$. Die Kanten des Dreiecks sind $\seg {PQ}$, $\seg {QR}$ und $\seg {PR}$.