Abbildung 4: Der Effekt einer Translation.
$\newcommand {\N }{\mathbb {N}}$$\newcommand {\Z }{\mathbb {Z}}$$\newcommand {\Q }{\mathbb {Q}}$$\newcommand {\R }{\mathbb {R}}$$\newcommand {\E }{\mathbb {E}}$$\newcommand {\id }{\operatorname {id}}$$\newcommand {\Isom }{\operatorname {Isom}}$$\newcommand {\defeq }{\mathrel {\mathop {:}}=}$$\newcommand {\eqdef }{=\mathrel {\mathop {:}}}$$\newcommand {\abs }[1]{\lvert #1 \rvert }$$\newcommand {\floor }[1]{\left \lfloor #1 \right \rfloor }$$\newcommand {\ceil }[1]{\left \lceil #1 \right \rceil }$$\newcommand {\seg }[1]{\overline {#1}}$$\newcommand {\strahl }[1]{\overrightarrow {#1}}$$\newcommand {\ang }{\sphericalangle }$$\newcommand {\gang }{\angle }$$\newcommand {\paritaet }{\operatorname {par}}$$\newcommand {\drehw }{\operatorname {ang}}$$\newcommand {\vektor }[1]{\underline {#1}}$$\renewcommand {\vec }{\operatorname {vec}}$$\newcommand {\protect }[1]{}$
Eine Bewegung ist eine bijektive Abbildung $\varphi \colon \E ^2 \to \E ^2$ die den Abstand erhält: $\abs {\varphi (P)\varphi (Q)} = \abs {PQ}$. Anschaulich beschreibt eine Bewegung die Bewegung eines Blatts Papier. Die triviale Bewegung oder Identität $\id $ ist die Abbildung, die jeden Punkt lässt, wo er ist: für alle $P$ ist $\id (P) = P$.
Zwei Bewegungen können nacheinander ausgeführt werden: wenn $\varphi $ und $\psi $ Bewegungen sind, definiert $\varphi \circ \psi (P) = \varphi (\psi (P))$ eine Bewegung $\varphi \circ \psi $.
Jede Bewegung $\varphi $ hat eine Inverse $\varphi ^{-1}$, die die Wirkung von $\varphi $ rückgängig macht. Sie ist dadurch beschrieben dass $\varphi ^{-1}(Q) = P$ wenn $\varphi (P) = Q$. Dies lässt sich auch ausdrücken durch die Formeln $\varphi \circ \varphi ^{-1} = \id = \varphi ^{-1} \circ \varphi $.
Bewegungen bilden (parallele) Geraden auf (parallele) Geraden und Kreise auf Kreise ab. Eine Figur $f \subseteq \E ^2$ heißt invariant unter einer Bewegung $\varphi $ wenn $\varphi (f) = f$, wenn also jeder Punkt von $f$ auf einen Punkt von $f$ abgebildet wird. Ein Punkt $P \in E^2$ heißt Fixpunkt von $\varphi $ wenn $\varphi $ den Punkt auf sich selbst abbildet: $\varphi (P) = P$. Die Menge aller Fixpunkte einer Bewegung $\varphi $ ist seine Fixpunktmenge. Die Fixpunktmenge von $\varphi $ ist invariant unter $\varphi $. Umgekehrt kann aber eine Menge invariant unter $\varphi $ sein, ohne einen Fixpunkt zu enthalten.
Proposition 1.5. Die Fixpunktmenge einer Bewegung ist entweder leer, ein einziger Punkt, eine Gerade, oder die ganze Ebene.
Beweis. Sei $\varphi $ eine Bewegung. Wir behaupten erstens, dass wenn $\varphi $ zwei verschiedene Fixpunkte $P$ und $Q$ hat, dann ist schon jeder Punkt auf $PQ$ ein Fixpunkt. Wir behaupten zweitens, dass wenn $\varphi $ außerdem noch einen Fixpunkt $R$ hat, der nicht auf $PQ$ liegt, dann ist jeder Punkt ein Fixpunkt. Aus diesen beiden Behauptungen folgt die Aussage der Proposition.
Zur ersten Behauptung. Angenommen $P$ und $Q$ sind Fixpunkte von $\varphi $. Dann folgt direkt, dass $PQ$ invariant unter $\varphi $ ist. Sei jetzt $T \in PQ$ ein Punkt. Da $\varphi $ eine Bewegung ist, ist $\abs {\varphi (P)\varphi (T)} = \abs {PT}$. Da $P$ ein Fixpunkt ist, ist $\abs {\varphi (P)\varphi (T)} = \abs {P\varphi (T)}$. Zusammen folgt, dass $\abs {PT} = \abs {P\varphi (T)}$. Das selbe gilt mit $P$ ersetzt durch $Q$. Demnach hat $\varphi (T)$ den gleichen Abstand von $P$ und von $Q$ wie $T$. Aus Axiom 2(2) folgt dann, dass $\varphi (T) = T$. Also ist $T$ ein Fixpunkt. Da $T$ beliebig war, ist jeder Punkt von $PQ$ ein Fixpunkt von $\varphi $.
Zur zweiten Behauptung. Angenommen $P,Q,R$ sind Fixpunkte von $\varphi $, die nicht kollinear sind. Nach der ersten Behauptung sind alle Punkte auf $PQ$ auf $QR$ und auf $PR$ Fixpunkte von $\varphi $. Sei $T$ ein beliebiger Punkt. Wir wollen zeigen, dass $T$ ebenfalls ein Fixpunkt von $\varphi $ ist. Wir betrachten die Gerade $PT$ und unterscheiden zwei Fälle. Im ersten Fall schneiden sich $PT$ und $QR$ in einem Punkt $U$. Dann ist $PT = PU$. Da $P$ und $U$ Fixpunkte von $\varphi $ sind, ist nach der ersten Behauptung auch $T$ ein Fixpunkt von $\varphi $. Im zweiten Fall ist $PT$ parallel zu $QR$. Dann ist $PT$ invariant unter $\varphi $: es ist die eindeutige Gerade parallel zu $QR$ durch $P$. Damit ist $P$ ein Fixpunkt: es ist der eindeutige Schnittpunkt von $Q_T$ und $R_T$ auf $PT$. □
Folgerung 1.6. Wenn $PQR$ ein Dreieck ist und $\varphi $ und $\psi $ Bewegungen mit $\varphi (P) = \psi (P)$, $\varphi (Q) = \psi (Q)$, $\varphi (R) = \psi (R)$, dann ist $\varphi = \psi $.
Beweis. Die Bedingungen besagen, das die Fixpunktmenge von $\varphi ^{-1}\psi $ die Punkte $P$, $Q$ und $R$ enthält. Nach Proposition 1.5 muss die Fixpunktmenge die ganze Ebene sein. Das heißt, für jeden Punkt $T$ ist $\varphi ^{-1}\psi (T) = T$, das heißt, $\varphi (T) = \psi (T)$. □
Drei Klassen von Bewegungen bekommen besondere Namen:
Eine Bewegung $\varphi \colon \E ^2 \to \E ^2$ ist eine Translation (Verschiebung) wenn sie keinen Fixpunkt hat und jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade abbildet. Wir verabreden außerdem, dass auch die Identität als Translation gilt.
Eine Bewegung ist eine Rotation (Drehung) wenn sie genau einen Fixpunkt hat. Wieder gilt gemäß Vereinbarung auch die Identität als Rotation.
Eine Bewegung ist eine Reflektion (Spiegelung) wenn ihre Fixpunktmenge eine Gerade ist. Eine Bewegung $\varphi $ ist eine Involution wenn $\varphi \circ \varphi = \id $. Eine äquivalente Bedingung ist, das $\varphi = \varphi ^{-1}$. Eine Involution bildet $P$ auf $Q$ ab genau dann wenn sie $Q$ auf $P$ abbildet: $\varphi (P) = Q$ genau dann wenn $\varphi (Q) = P = \varphi (\varphi (P))$.
Dass Translationen, Rotationen und Reflektionen existieren, folgt nicht aus den bisherigen Axiomen, wir fordern es axiomatisch:
Wir bezeichnen die Translation, die $P$ auf $Q$ abbildet mit $\tau _{PQ}$.
Wir bezeichnen die Fixpunktmenge einer Spiegelung als ihre Spiegelungsachse. Die Spiegelung mit Achse $g$ schreiben wir $\sigma _g$.
Zwei Figuren $f$ und $f'$ sind kongruent, geschrieben $f \equiv f'$, wenn es eine Bewegung $\varphi $ gibt, die $f$ auf $f'$ abbildet: $\varphi (f) = f'$.
Bemerkung 1.7. Kongruenz von algebraischen Winkeln ist in Abschnitt 3.7 anders definiert.
Proposition 1.8. Zwei Segmente $\seg {PQ}$ und $\seg {P'Q'}$ sind kongruent genau dann, wenn sie die gleiche Länge haben.
Beweis. Kongruent impliziert gleiche Länge: Da Bewegungen Abstand erhalten müssen zwei kongruente Segmente die gleiche Länge haben.
Gleiche Länge impliziert kongruent: Sei $\tau $ eine Translation, die $P$ auf $P'$ abbildet. Sei $\rho $ eine Rotation, die $P'$ festhält und $\tau (Q)$ auf $Q'$ abbildet. Wir behaupten das $\varphi \defeq \rho \circ \tau $ das Segment $\seg {PQ}$ auf $\seg {P'Q'}$ abbildet. Wir berechnen $\varphi (P) = \rho (\tau (P)) = \rho (P') = P'$ und $\varphi (Q) = \rho (\tau (Q)) = Q'$. Also sind $\seg {PQ}$ und $\seg {P'Q'}$ kongruent. □
Nun fehlt nicht viel zum ersten Kongruenzsatz:
Satz 1.9 (Kongruenzsatz „SSS“). Seien $PQR$ und $P'Q'R'$ Dreiecke. Wenn gilt $\abs {PQ} = \abs {P'Q'}$, $\abs {QR} = \abs {Q'R'}$ und $\abs {PR} = \abs {P'R'}$, dann sind $PQR$ und $P'Q'R'$ kongruent.
Beweis. Da $\abs {PQ} = \abs {P'Q'}$ ist, existiert nach Proposition 1.8 eine Bewegung $\varphi $ mit $\varphi (P) = P'$ und $\varphi (Q) = Q'$. Wir ersetzen das Dreieck $PQR$ durch das kongruente Dreieck $\varphi (PQR)$. Danach gilt, $P = P'$ und $Q = Q'$. Nun liegen $R$ und $R'$ beide auf den Kreisen $P_R$ und $Q_R$, die sich in zwei Punkten schneiden. Wenn $R = R'$ ist, sind wir fertig, denn $PQR = P'Q'R'$. Andernfalls sei $g = PQ$. Die Spiegelung $\sigma _g$ hält dann $P$ und $Q$ fest und vertauscht wegen Axiom 3(1) die beiden Punkte $R$ und $R'$. Somit ist $\sigma _g(PQR) = P'Q'R'$. □
Proposition 1.10. Zu zwei verschiedenen Punkten $P$ und $Q$ gibt es eine eindeutige Gerade $\ell $ so, dass $\sigma _\ell (P) = Q$ und $\sigma _\ell (Q) = P$.
Beweis. Wir zeigen zunächst die Existenz einer solchen Spiegelung.
Seien $R$ und $S$ die beiden Schnittpunkte von $P_Q$ und $Q_P$, einer in jedem Halbraum von $PQ$ nach Axiom 3(1). Sei $\ell = RS$. Wir behaupten, dass $\sigma _\ell $ die Punkte $P$ und $Q$ vertauscht. Denn $P$ und $Q$ sind die beiden eindeutigen Schnittpunkte von $R_P$ und $S_P$. Da sie nicht auf $\ell $ liegen, hält $\sigma _\ell $ sie nicht fest und da es nur zwei gibt, vertauscht es sie.
Ist $\ell '$ eine weitere Gerade, so dass $\sigma _{\ell '}$ die Punkte $P$ und $Q$ vertauscht, dann gilt für jeden Punkt $N$ auf $\ell '$, dass $\abs {PN} = \abs {\sigma _{\ell '}(P)\sigma _{\ell '}(N)} = \abs {QN}$. Insbesondere sind zwei Schnittpunkte von $P_Q$ mit $\ell '$ auch Punkte von $Q_P$. Da sich $P_Q$ und $Q_P$ nur in den beiden Punkten $R$ und $S$ schneiden, folgt dass $\ell ' = RS = \ell $. □
Wenn $P$ und $Q$ zwei verschiedene Punkte sind und $\sigma _\ell $ die Spiegelung, die sie vertauscht, nennen wir $\ell $ die Mittelsenkrechte von $\seg {PQ}$. Wir nennen den Schnittpunkt von $PQ$ mit $\ell $ den Mittelpunkt von $P$ und $Q$.
Aus dem Beweis von Proposition 1.10 sehen wir:
Folgerung 1.11. Seien $P$ und $Q$ zwei verschiedene Punkte und $\ell $ die Mittelsenkrechte von $\seg {PQ}$. Ein Punkt $N$ liegt auf $\ell $ genau dann, wenn $\abs {PN} = \abs {QN}$.
Beweis. Wenn $N$ auf $\ell $ liegt, ist $\sigma _\ell (N) = N$, also $\abs {PN} = \abs {\sigma _\ell (P)\sigma _\ell (N)} = \abs {QN}$.
Wir nehmen umgekehrt an, dass $\abs {PN} = \abs {QN}$ und wollen zeigen, dass $N$ auf $\ell $ liegt. Sei $M$ der Mittelpunkt von $P$ und $Q$. Wenn $N = M$ ist, wissen wir bereits, dass $N$ in $\ell $. Es bleibt also, den Fall $N \ne M$ zu betrachten. Sei $N' = \sigma _{PQ}(N)$. Dann ist $NN' = MN$ und $\sigma _{NN'}$ vertauscht $P$ und $Q$. Also ist $NN' = MN$ die Mittelsenkrechte von $\seg {PQ}$. □
