Geometrie und Topologie

Dies ist die Website zur Vorlesung Geometrie und Topologie im Sommersemester 26 an der Universität Bielefeld.

Aktuelles


Das Skript ist nun auf Stand von Dienstag.

Vorlesung

Fabian Hebestreit
hebestreit@math.uni-bielefeld.de
dienstags, 10-12 Uhr, Raum ???
donnerstags, 10-12 Uhr, Raum D2-152

Tutorien

Skript

Das gibt es hier.

Übungsblätter und Lösungen

Abgaben sind allein oder in Zweiergruppen erlaubt.

Themen

Die metrischen und normierten Räume der Analysisvorlesungen erlauben es den Begriff der stetigen Abbildung auf Situationen außerhalb von Teilmengen euklidischer Räume anzuwenden. Ein prominentes Beispiel ist die Interpretation der Konvergenz von Integralen bei gleichmäßiger Konvergenz einer Funktionenfolge als Stetigkeit des Integrals als Abbildung aus dem Raum der stetigen Abbildungen auf einem Intervall mit der Supremumsnorm in the reellen Zahlen. Metriken haben aber einige Defizite: Oft liefern sehr verschiedene Metriken denselben Begriff von stetigen Abbildungen, was die Arbeit erschweren kann (schon im Falle euklidischer Räume), oder ein gegebener Begriff von Konvergenz kann erst gar nicht durch eine Metrik beschrieben werden (etwa die punktweise Konvergenz stetiger Funktionen auf einem Intervall). Abhilfe leistet hier in vielen Fällen der Begriff des topologischen Raums, mit dem wir uns im ersten Drittel der Vorlesung beschfätigen werden.
Einmal hiermit vertraut werden wir die Untermannigfaltigkeiten der Analysisvorlesungen aus dem umgebenden euklidischen Raum herauslösen und einen der zentralen Begriffe der gesamten Mathematik, den der abstrakten glatten Mannigfaltigkeit einführen. Er erlaubt es die Methoden der Differential- und Integralrechnung auf viele neue Objekte anzuwenden, etwa die projektiven Räume der Geometrie. Um etwa glatte Funktionen auf diesen Räumen sinnvoll ableiten zu können, bedarf es weiterer neuer Konzepte, nämlich Tangetial- und Kotangentialbündel, welche auch in der Physik unter den Namen Zustands- und Phasenraum auftauchen. Auch ihnen werden wir uns im Detail widmen.
Das zugrundeliegende Konzept des Faserbündels ist auch in vielen anderen Bereichen der Topologie und Geometrie enorm wichtig und im letzten Drittel der Vorlesung werden wir uns den wohl einfachsten Faserbündeln, den sogenannten Überlagerungen, zuwenden, die eine vollständige Klassifikation ähnlich der Galoistheorie der Algebra erlauben (die man aber nicht kennen muss um der Vorlesung zu folgen). An die Stelle der Galoisgruppe tritt hier die sogennante Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes, die das Deformationsverhalten von Wegen kodiert. Auch sie werden wir im Detail untersuchen und in Folgevorlesungen zu den höheren Homologie- und Homotopiegruppen ausbauen.
Zur Formulierung einiger der obigen Sachverhalte werden wir dabei die Sprache der Kategorientheorie verwenden. Deren Grundlagen werden wir en passant ebenfalls entwickeln. Ein grober Fahrplan ist also:

Literaturvorschläge