Warnung 1: Eine bijektive, stetige Abbildung
ist nicht immer ein
Homöomorphismus. Ganz allgemein muss man aufpassen:
Ist f eine stetige Abbildung, so ist das Bild einer offenen
Menge
nur selten wieder offen!
Es gibt viele Beispiele:
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Warnung 2: Die Existenz surjektiver stetiger
Abbildungen X → Y, Y → X impliziert nicht, dass X und Y topologisch äquivalent sind.
Beispiel: Eine Peano-Kurve ist eine surjektive stetige Abbildung I → I×I. Und natürlich gibt es surjektive stetige Abbildungen I×I → I. Aber I und I×I sind nicht topologisch äquivalent. (Entfernt man einen beliebigen Punkt aus I×I, so bleibt der Raum zusammenhängend; entfernt man dagegen aus I den Punkt 1/2, so erhält man zwei Zusammenhangskomponenten.) |
Warnung:
Wenn vom Abschluss, vom offenen Kern und vom Rand einer Menge Y
gesprochen wird, so muss man immer wissen, in welchem topologischen
Raum X man sich befindet! Auch die Notationen verzichten
darauf, X zu erwähnen - doch die Kenntnis von X ist unabdingbar!
Beispiel: Betrachte das Intervall I = [0,1] als Y.
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siehe | |
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Trennungseigenschaften | Abschnitt 2 |
Abzählbarkeitseigenschaften | SPÄTER |
Kompaktheit | Abschnitt 2 |
Beispiel für derartige Merkregeln:
Der Abschluss-Operator ist idempotent:
(Also: Der Abschluss einer beliebigen Teilmenge ist
abgeschlossen.)
Beweis: Zu zeigen ist, dass der Rand des Abschlusses von Y im Rand von Y enthalten ist ....
Wir notieren jeweils nur die Grundmenge,
und zwar Teilmengen eines Rn. Dabei werde
Rn wie üblich als metrischer Raum aufgefasst,
wobei die Metrik durch die euklid'sche Norm definiert ist (siehe auch Beispiel D.).
Als metrischer Raum ist Rn (und jede Untermenge)
ein topologischer Raum, siehe C. Dies ist die Topologie,
die gemeint ist! Verwiesen sei auch auf den Abschnitt
"Konstruktionen, um neue Räume zu gewinnen", und dort auf die
erste Konstruktion: "Unterraum".
Die "Topologie" des Rn ist also die aus der
Vorlesung "Analysis" bekannte "Topologie" (wie oben notiert,
versteht man unter der "Topologie" eines Raums X die Menge der
offenen Teilmengen...)
Hier einer der Beweisschritte für n=2:
Später werden wir sehen: Sind n und n' verschieden, so ist der n-Würfel nicht zum n'-Würfel topologisch äquivalent. Zumindest für n'=1 und n>1 ist der Beweis einfach. (Der 1-Würfel besitzt Punkte x, so dass das Komplement nicht zusammenhängend ist. Ist n mindestens 2, so ist das Komplement eines jeden Punkts des n-Würfels zusammenhängend.)
Topologie | {} | {a} | {b} | {a,b} |
---|---|---|---|---|
grob | x | x | ||
T' | x | x | x | |
T" | x | x | x | |
diskret | x | x | x | x |
Die Topologien T' und T'' liefern topologisch äquivalente Räume: vertausche a und b. Also gilt: Bis auf topologische Äquivalenz gibt es genau drei topologische Räume mit zweielementiger Grundmenge.
Satz. Ist (X,d) ein metrischer Raum, so bilden die offenen Mengen eine Topologie.
Die meisten Räume, die wir betrachten werden, besitzen
zwar eine Metrik (sind also metrische Räume), wir werden
dies aber nur selten ausnutzen. Allerdings gibt es zwei
Argumentationsweisen, bei denen wir die Existenz einer Metrik
verwenden werden:
|
Beispiel: Sei X = R und Y = I = [0,1], das Einheitsintervall. Betrachte Y als Raum mit der "induzierten Topologie". Wie sehen die offenen Mengen von Y aus? Zum Beispiel ist [0,1/2[ eine offene Menge!
Eine Charakterisierung der topologischen Summen erfolgt im Rahmen der Diskussion des Begriffs des Zusammenhangs.
Es gilt (trivialerweise):
Lemma. Seien X und Y topologische Räume und
X+Y ihre Summe.
Lemma. Seien X und Y topologische Räume und X×Y das Produkt.