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Der Ähnlichkeitssatz gibt uns einen Zusammenhang zwischen Seitenverhältnissen und Winkeln:
Proposition 4.14. Seien $PQR$ und $P'Q'R'$ gleichschenklige Dreiecke mit $\abs {PQ} = \abs {QR}$ und $\abs {P'Q'} = \abs {Q'R'}$. Es ist $\ang PQR \equiv \ang P'Q'R'$ genau dann, wenn $\abs {PQ}/\abs {PR} = \abs {P'Q'}/\abs {P'R'}$.
Beweis. Wenn die Bedingung an die Winkel erfüllt ist, folgt aus der Gleichschenkligkeit und der Winkelsumme im Dreieck (Proposition 1.22), dass alle Winkel paarweise kongruent sind. Aus dem Ähnlichkeitssatz 4.12 folgt, dass die Dreiecke ähnlich sind, also sind insbesondere die Seitenverhältnisse gleich.
Sind umgekehrt die Seitenverhältnisse gleich, sind die Dreiecke nach einer zentrischen Streckung kongruent und haben damit gleiche Winkel. □
Eine noch wichtigere Rolle als in gleichschenkligen Dreiecken spielt der Zusammenhang zwischen Winkel und Seitenverhältnis in rechtwinkligen Dreiecken. Da jedes rechtwinklige Dreieck die Hälfte eines gleichschenkligen Dreiecks ist, sind beide Beziehungen eng verwandt.
Sei $PQR$ ein rechtwinkliges Dreieck mit $\gang PQR = \alpha $ und $\gang QRP = 90^\circ $. In diesem Fall bezeichnet man $\seg {PQ}$ als Hypothenuse, $\seg {QR}$ als Ankathete (die zu $\alpha $ benachbarte Kathete) und $\seg {PR}$ als Gegenkathete (die zu $\alpha $ gegenüberliegende Kathete). Wir definieren die folgenden Verhältnisse:
Die Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens helfen uns, den Zusammenhang zwischen Winkeln und Längenverhältnissen zu beschreiben und — mit algebraische und analytischen Kenntnissen ausgestattet — auch zu berechnen. Sie helfen uns allerdings wenig dabei, Winkel oder Längenverhältnisse zu konstruieren.
Wenn wir ein gleichschenkliges Dreieck $PQR$ mit $\abs {PQ} = \abs {QR}$ in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, stellen wir fest, dass
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ist.