$\newcommand {\N }{\mathbb {N}}$$\newcommand {\Z }{\mathbb {Z}}$$\newcommand {\Q }{\mathbb {Q}}$$\newcommand {\R }{\mathbb {R}}$$\newcommand {\E }{\mathbb {E}}$$\newcommand {\id }{\operatorname {id}}$$\newcommand {\Isom }{\operatorname {Isom}}$$\newcommand {\defeq }{\mathrel {\mathop {:}}=}$$\newcommand {\eqdef }{=\mathrel {\mathop {:}}}$$\newcommand {\abs }[1]{\lvert #1 \rvert }$$\newcommand {\floor }[1]{\left \lfloor #1 \right \rfloor }$$\newcommand {\ceil }[1]{\left \lceil #1 \right \rceil }$$\newcommand {\seg }[1]{\overline {#1}}$$\newcommand {\strahl }[1]{\overrightarrow {#1}}$$\newcommand {\ang }{\sphericalangle }$$\newcommand {\gang }{\angle }$$\newcommand {\paritaet }{\operatorname {par}}$$\newcommand {\drehw }{\operatorname {ang}}$$\newcommand {\vektor }[1]{\underline {#1}}$$\renewcommand {\vec }{\operatorname {vec}}$$\newcommand {\protect }[1]{}$
Wenn wir ein goldenes Fünfeck konstruieren wollen, bleibt das Problem, den goldenen Schnitt zu konstruieren. Aus Abschnitt 4.1 wissen wir, dass wir lineare Gleichungen durch Konstruktion lösen können. Die Gleichung (4.9), die den goldenen Schnitt definiert, ist aber eine quadratische Gleichung. Dass der Versuch, quadratische Gleichungen zu lösen, zumindest nicht hoffnungslos ist, sehen wir am DIN-Schnitt.
Konstruktion. Konstruiere ein Quadrat $OIPS$. $\Diamond $
Beweis. Sei $M$ der Mittelpunkt von $\seg {OP}$. Nach dem Kathetensatz ist $\abs {OI}^2 = \abs {OP} \cdot \abs {OM}$. Aber $\abs {OM} = 1/2\abs {OP}$, also ist $\abs {OP}^2/\abs {OI}^2 = 2$. □
Wenn wir uns die Lösung von Problem 4.17 genauer ansehen, erkennen wir, dass wir sogar Wurzeln von allgemeinen Längenverhältnissen ziehen können:
Übung 3. Sei $OP$ ein beliebiges Segment und $I \in OP$, $I \ne O$. Konstruiere einen Punkt $Q$, so dass $\abs {OQ}/\abs {OI} = \sqrt {\abs {OP}/\abs {IO}}$.
Wir wissen, dass wir mithilfe der $(p,q)$-Formel (oder der $(a,b,c)$-Formel) alle reellen Lösungen einer quadratischen Gleichung nur mithilfe von Wurzelziehen erhalten können. Aus der Übung folgt also, dass $\varphi $ als Lösung einer quadratischen Gleichung konstruierbar sein muss.