BIREP — Representations of finite dimensional algebras at Bielefeld
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Lineare Algebra II

Vorlesung im Sommersemester 2023
Professor: Prof. Dr. William Crawley-Boevey


Eintrag im ekvv

Lernraum

Vorlesungen

Dienstag und Donnerstag 10:15-11:45 in T2-205 / H10.

Inhalt

  1. Grundlagen: Mengen, Abbildungen, Relationen
  2. Algebraische Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper, Vektorräume
  3. Matrizen und Lineare Gleichungssysteme
  4. Struktur der Vektorräume
  5. Lineare Abbildungen
  6. Determinanten
  7. Skalarprodukträumen
  8. Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit
  9. Jordansche Normalform
  10. Lineare Abbildungen zwischen Skalarprodukträumen
  11. Bilinearformen und quadratische Formen

Die Abschnitte 1-6 wurden in Lineare Algebra I aufgenommen. Das Vorlesungsskript ist im Lernraum.

Literatur

Es gibt viele gute Bücher. An der Universität sollten Sie Kopien dieser Bücher herunterladen können.

Leistungsnachweise

Für den Modul 24-B-LA Lineare Algebra, muss Folgendes erfüllt werden.

Klausuren

Die Abschlussprüfungen dauern jeweils 90 Minuten und finden an folgenden Terminen statt.

Zusätzlich zur Anmeldung zur Vorlesung müssen Sie für jede Klausur, die Sie ablegen möchten, im ekVV angemeldet sein.

Es ist erlaubt, ein beidseitig handbeschriebenes DIN A4-Blatt zur Klausur mitzubringen, und einen nichtprogrammierbaren Taschenrechner, der aber nicht notwendig ist. Weitere Hilfsmittel wie Handys sind nicht zugelassen.

Falls Sie im SS 23 nicht in den Übungen zur Lineare Algebra II mindestens 50 Prozent der Gesamtpunktzahl erreicht haben oder nicht zweimal eine Aufgabe vorgerechnet haben, wird ihr Klausur nicht bewertet.

Übungen

Tutorium und Übung werden hier synonym verwendet. Der Übungsgruppenleiter wird auch als Tutor bezeichnet.

Liste der Tutoren:

Eine Emailliste der Tutoren finden sie im Lernraum. Die Postfächer sind im Kopierraum in V3-128.

Allgemeines: Die Tutorien beginnen erst am 11.04.23.

Übungszettel

Diese Aufgaben werden jeden Freitag (erste Abgabe bis 10:00 am 14.04.23) im Kopierraum im Postfach Ihres Tutors abgegeben und danach korrigiert und bepunktet. In einem drauffolgenden Tutorium werden die Lösungen der Aufgaben von den Studenten vorgestellt.

Sie dürfen zusammen mit einer weiteren Person aus ihrem Tutorium abgeben. Die eingereichte Hausarbeit muss die Namen und die Handschrift beider Studierender enthalten. (Tipp: Finden Sie diesen Partner im ersten Tutorium).

Sonstiges

Sagemath Computer-Algebra-System

SageMathCell Webinterface | Referenzkarte | Mehr Informationen

Beispiel (Polynomregression)

# Die Daten
n=6; xp=[1,2,3,4,7,10]; yp=[1,5,4,6,10,10]; d=2

# der Polynomring
R.<X> = RR[]

# das Gram-Schmidt-Verfahren
v=[]
for i in [0..d]:
   v.append(X^i - sum(sum(xp[k]^i*v[j].subs(X=xp[k]) for k in range(n)) /
   sum(v[j].subs(X=xp[k])^2 for k in range(n))*v[j] for j in [0..i-1]))
   
# die Normalisierung
phi=[1/sum(v[i].subs(X=xp[k])^2 for k in range(n))^(1/2)*v[i] for i in [0..d]]

# das Polynom
p = sum(sum(yp[k]*phi[i].subs(X=xp[k]) for k in range(n))*phi[i] for i in [0..d])
show(p)

# der Graph
show(list_plot([(xp[i],yp[i]) for i in range(0,n)]) + plot(p.subs(X=x),(x,min(xp),max(xp))))

Beispiel (Eigenwerte einer zufällige Matrix)

# Eine zufällige Matrix. Mögliche Zahlen sind: 
# ZZ = ganze, QQ = rationelle, RDF = reelle, CDF = komplexe
n = randint(3,10)
A = random_matrix(CDF,n,n)

# Machen wir A nicht-negativ?
# for i in range(n): 
#     for j in range(n): 
#         A[i,j]=abs(A[i,j])

# Machen wir A orthogonal/unitär?
# Das Folgende wendet Gram-Schmidt auf die Zeilen von A an, um sie orthonormal zu machen
# A = A.gram_schmidt(orthonormal=True)[0]

# Machen wir A symmetrisch / hermetisch?
# A = A + A.transpose().conjugate()

show(A)

# Das charakteristische Polynom und die Eigenwerte
show((-1)^n*A.charpoly())
e = A.eigenvalues(); show(e)

# Ein Graph der Eigenwerte
points = [[real(e[k]),imag(e[k])] for k in range(len(e))]
m=max(abs(e[k]) for k in range(len(e)))
list_plot(points,aspect_ratio=1,xmin=-m,xmax=m,ymin=-m,ymax=m,size=25)

Ein Beispiel für die Verwendung von Matrizen zum Lösen simultaner Differentialgleichungen

Paul Krugman, A Model of Balance-of-Payments Crises, Journal of Money, Credit and Banking, Vol. 11, No. 3 (Aug., 1979), pp. 311-325.

Ein Video

Gilbert Strang - The Big Picture of Linear Algebra, MIT oder Youtube.