• Teil 1 (29.10.2009)
  0. Grundbegriffe: Teilbarkeit. Der ganzzahlige Anteil einer reellen Zahl
  1. Die Verteilung der Primzahlen.
  • 1.1. Es gibt unendlich vielle Primzahlen
  • 1.2. Die Funktion π(x)
  • 1.3. Das Bertrand'sche Postulat
  • 1.4. Folgerungen
  • 1.5. Vergleich von π(x) und x/ln(x).
  • 1.6. Folgerung.
  • 1.7. Das Wachstum der Primzahlen
  • 1.8. Abschätzung von π(2n)-π(n)
  • Nachtrag ANA: Einige analytische Abschätzungen reeller Funktionen.
  
  Neu ist das Ende von 1.6, die Abschnitte 1.7, 1.8, und der Anhang, auch ein Zusatz im Abschnitt 1.1 (zum Euler-Beweis).
  Korrigiert wurde im Beweis von 1.4.1: "nur für n=1" (statt n=2).

• Teil 2
  2. Die Restklassenringe Z/n
  • 2.1. Der Satz von Lagrange
  • 2.2. Zyklische Gruppen
  • 2.3. Die Euler'sche φ-Funktion
  • 2.4. Charakterisierung zyklischer Gruppen
  • 2.5. Endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers.
  • 2.6. Primititivwurzeln modulo n.
  • 2.7. Produkte von Halbgruppen und Ringen
  • 2.8. Der chinesische Restsatz
  • 2.9. Die Multiplikativität der Eulerschen φ-Funktion
  • 2.10. RSA
  • 2.11. Kongruenzen modulo einer Primzahl p
    (insbesondere: Die Sätze von Wilson und Leibniz,
    das Legendre-Symbol mit dem Euler-Kriterium,
    Bemerkungen zu Primzahltests und Pseudoprimzahlen,
    Mersenne'sche und Fermat'sche Primzahlen)
  Korrektur.Auf Seite 2-27, Zeile 5 von unten muss man "p-1 ≡ 1 mod 4 or p-1 ≡ 3 mod 4" durch "p ≡ 1 mod 4 oder p ≡ 3 mod 4" erstzen.

• Teil 3 (Abschnitte 3.1.-3.7.)
  3. Zahlentheoretische Funktionen
  • 3.1. Die Faltung
  • 3.2. Multiplikative Funktionen
  • 3.3. Die Funktion τ
  • 3.4. Die Funktion σ
  • 3.5. Möbius-Transformation
  • 3.6. Die Euler'sche φ-Funktion (noch einmal)
  • 3.7. Restklassen-Charaktere.
  
  Korrekturen: p.3-12, Zeile 3: "wenn (n,k) > 1 gilt"
  p.3-13 Definition von χ³₁: es fehlt der Wert -1 für n ≡ 2 mod 3.
• Teil 4 (Anfang)
  4. Dirichlet's Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen
  • 4.0. Erinnerung: Restklassen-Charaktere
  • 4.1. Trennung der Restklassen
  • 4.2. Verwendung der Mangoldt-Funktion
  • 4.3. L-Reihen: Konvergenz
• Teil 4-2
  • 4.3. Fortsetzung
  • 4.4. L-Reihen: Euler-Produkt
  •       und Dirichlet-Reihen
  • 4.5. Vergleichssatz
  
  Korrekturen: p.9: bei der Definition der Faltung muss es α(d)β(n/d) (und nicht etwa +) heißen!
  P.10, Zeilen -4, -3: statt p^t muss es jeweils p^s heißen.

• Teil 4-3
  • 4.5. (Fortsetzung)
  • 4.6. Nullstellen der L-Funktionen

• Teil 5
  5. Noch einmal: Zahlentheoretische Funktionen
  • 5.1. Der Ring Φ als Ring der formalen Dirichlet-Reihen
  • 5.2. Die Funktion σ oder besser σ(n)/n.
  • 5.3. Die harmonische Reihe und die Euler-Konstante γ
• Teil 6
  6. Summen von Quadraten
  • 6.1. Zahlen, die sich als Summe zweier Quadrate schreiben lassen.
  • 6.2. Die ganzen Gauß'schen Zahlen.
  • 6.3. Summen von vier Quadratzahlen.

  Korrektur: Auf Seite 11 (und auch Seite 13) steht eine voellig falsche Multiplikationsregel. Richtig muss es heißen (wenn ich mich nicht schon wieder verrechnet habe):

  (x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3-x_4y_4)^2
  +(x_1y_2+x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3)^2
  +(x_1y_3-x_2y_4+x_3y_1+x_4y_2)^2
  +(x_1y_4+x_2y_3-x_3y_2+x_4y_1)^2
• Teil 6-2
  • 6.4. Pythagoräische Tripel
• Teil 7-1 (leicht korrigiert: 24.01.2010)
  7. Das quadratische Reziprozitätsgesetz
  • 7.1. Beispiel
  • 7.2. Das Gauß'sche Lemma
  • 7.3. Folgerungen
• Teil 7-2
  • 7.4. Das Reziprozitätsgesetz.
    Mit eienr Anwendung auf die Mersenneschen Zahlen.
• Teil 8
  8. Farey-Folgen
  • 8.1. Lemma
  • 8.2. Satz
  • 8.3. Folgerungen
  • 8.4. Lemma
  • 8.5. Satz von Hurwitz
  • 8.6. sqrt(5) ist best-möglich.
  • 8.7. Überdeckungen durch Intervalle.

Zusatz-Texte: Ausblicke

1. Die Riemannsche ζ-Funktion
2. Der Primzahlsatz
       Dazu einige Graphen (π(x), x/ln(x))
       und Bemerkungen zur Relation ~
3. Zyklische Einheitengruppen
   n-Ecke, die mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können (ein Zusatz zu den Fermat'schen Primzahlen)
4. Die Mertens'sche "Vermutung"
5. Die Teilersummenfunktion σ und die Riemann'sche Vermutung
   

   A073751	bei Sloane, siehe auch: die ersten 10000 Folgenglieder (bis zum ersten Auftreten der Primzahl 103049). oder auch
   Siehe auch A000705 (Ramanujan).

6. Satz. Ist p eine Primzahl mit p ≡ 1 mod 4, so kann man p als Summe zweiter Quadrate schreiben.
   Dieser Satz wurde in der letzten Stunde vor Weihnachten bewiesen (siehe Leitfaden). Zwei andere Beweise findet man hier, Seite 3 und Seite 5.

Aus den Vorlesungen LA I, II wird vorausgesetzt:

• Euklid'sche Ringe (5 Seiten)
• Halbgruppen, Gruppen, Ringe (6 Seiten)