Funktionentheorie

Dies ist die Website zur Vorlesung Funktionentheorie im Wintersemester 25/26 an der Universität Bielefeld.

Aktuelles

Das Skript zum Mittwoch ist nun da, ebenso der zweite Zettel und die Lösungen zum nullten. Weil der zweite Zettel aber erst am Samstag erschienen ist, habe ich auch seine Bearbeitungsfrist mal um einen Tag nach hinten verschoben.

Vorlesung

Fabian Hebestreit
hebestreit@math.uni-bielefeld.de
mittwochs, 10-12 Uhr, Raum V2-105
freitags, 10-12 Uhr, Raum D2-152

Tutorien

Skript

Das gibt es hier.

Übungsblätter und Lösungen

Klausur

Die Klausurtermine stehen noch nicht fest.

Themen

Viele glatte Funktionen einer reellen Veränderlichen erlauben eine natürliche Fortsetzung auf die komplexe Ebene, etwa jedes Polynom, die trigonometrischen Funktionen oder auch Exponentialfunktionen. Solche Fortsetzungen erlauben es häufig bemerkenswert einfache Beweise für Eigenschaften der urspünglichen Funktion zu geben. Etwa stellt sich heraus, dass sich die Werte von Integralen entlang von Wegen in der komplexen Ebene unter Deformation des Weges nicht ändern, sodass man Integrale der reellen Funktion durch leichter lösbare komplexe Integrale der erweiterten Funktion ersetzen kann.
Es stellt sich heraus, dass für Funktionen einer komplexen Veränderlichen viele der Begriffe aus der Analysis reeller Funktionen zusammenfallen. Die wohl stärkste Formulierung ist wohl, dass für jede komplex differenzierbare Funktion die Taylorentwicklung um jeden Punkt konvergiert. Diese Eigenschaft charakterisiert auch die natürlich forsetzbaren reellen Funktionen und im ersten Teil der Vorlesung werden wir uns den grundsätzlichen Eigenschaft komplex differenzierbarer Funktionen widmen, und einige Anwendungen der oben skizzierten Art betrachten. Auch der Fundamentalsatz der Algebra wird sich als Nebenprodukt der allgemeinen Theorie ergeben. Im zweiten Teil wenden wir die entwickelte Maschinerie dann auf ein erstaunliches Beispiel an: Die Riemann'sche Zeta-Funktion. Ihre Verbindungen zur Zahlentheorie werden es uns erlauben, die Verteilung der Primzahlen innerhalb aller natürlichen Zahlen zu analysieren. Ein grober Fahrplan ist:

Je nach Zeit werden wir am Ende noch weiterführende Themen besprechen. Möglichkeiten sind etwa:

Literaturvorschläge