BIREP — Representations of finite dimensional algebras at Bielefeld
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Algebra II

Vorlesung im Sommersemester 2024
Professor: Prof. Dr. William Crawley-Boevey


Eintrag im ekvv

Lernraum

Vorlesungen

Dienstag 14:15-15:45 in T2-204 und Donnerstag 12:15-13:45 in V2-200.

Following discussion in the first lecture, the lectures, lecture note and exercise sheets will be in English.

Inhalt

Wir werden eine Auswahl wichtiger Themen der Algebra behandeln.

  1. Vorbereitungen. Wir werden die Begriffe Kategorien und Funktoren einführen, die überall in der reinen Mathematik nützlich sind, und wir werden Zorns Lemma diskutieren, eine Version des Auswahlaxioms.
  2. Moduln. Dies ist eine Verallgemeinerung von Vektorräumen, bei der der Körper durch einen beliebigen Ring ersetzt wird. Beispielsweise sind additive Gruppen dasselbe wie Moduln für den Ring Z ganzer Zahlen. Insbesondere werden wir freie Moduln, halbeinfache Moduln und Algebren sowie noethersche Ringe und Moduln diskutieren.
  3. Multilineare Algebra. Eine wichtige Konstruktion für Moduln ist der Begriff eines Tensorprodukts. Damit kann man äußere Algebren einführen, die eine koordinatenfreie Möglichkeit zur Behandlung von Determinanten bieten. Wir könnten auch Clifford-Algebren studieren.
  4. Darstellungen endlicher Gruppen. Eine Darstellung einer Gruppe ist das Vorkommen der Gruppe als Symmetrien eines Objekts. Wir interessieren uns für lineare Darstellungen, die Aktionen der Gruppe auf einem Vektorraum sind. Es entspricht dem Studium von Modulen für einen geeigneten Ring, der sogenannten Gruppenalgebra. Die Charaktertafel der Gruppe enthält alle Informationen zu ihren komplexen Darstellungen.
  5. Kommutative Algebra. Eigenschaften kommutativer Ringe spielen in der Zahlentheorie und algebraischen Geometrie eine wesentliche Rolle. Insbesondere möchte ich den Nullstellensatz diskutieren, der eine Entsprechung zwischen Teilmengen des affinen Raums und Idealen in einem Polynomring herstellt, und die Dimensionstheorie für solche Teilmengen und Faktorringe.

(Wenn uns die Zeit ausgeht, werden einige Themen nicht behandelt.)

Literatur

Leistungsnachweise

Für den Modul 24-B-SP Spezialisierung oder 24-B-PSE Profilierung Strukturierte Ergänzung, muss Folgendes erfüllt werden.

  1. Regelmäßiges Bearbeiten der Übungsaufgaben jeweils mit erkennbarem Lösungsansatz. Nachweis einer ausreichenden Zahl korrekt gelöster Übungsaufgaben, die im Rahmen der Veranstaltung Algebra I gestellt werden. Das bedeutet 50% der im Semester für das Lösen der Aufgaben erzielbaren Punkte zu erreichen.
  2. Mitarbeit in den Übungsgruppen zur Algebra II (Die Studierenden liefern regelmäßig Beiträge zur fachlichen Diskussionen in der Übungsgruppe. In Betracht kommen insbesondere fachliche Kommentare und Fragen zu den vorgestelten Lösungsvorschlägen sowie zweimaliges Vorrechnen von Übungsaufgaben nach Aufforderung).
  3. Bestehen der Klausur. Die Klausur bezieht sich auf den Inhalt der Vorlesung Algebra II und der zugehörigen Übung. Die Klausur dauert 90 Minuten.

Klausuren

Die Abschlussprüfungen dauern jeweils 90 Minuten und finden an folgenden Terminen statt.

Es ist erlaubt, ein beidseitig handbeschriebenes DIN A4-Blatt zur Klausur mitzubringen, und einen nichtprogrammierbaren Taschenrechner, der aber nicht notwendig ist. Weitere Hilfsmittel wie Handys sind nicht zugelassen.

Falls Sie im SS 24 nicht in den Übungen zur Algebra II mindestens 50 Prozent der Gesamtpunktzahl erreicht haben oder nicht zweimal eine Aufgabe vorgerechnet haben, wird ihr Klausur nicht bewertet.

Übungen

Tutorium und Übung werden hier synonym verwendet. Der Übungsgruppenleiter wird auch als Tutor bezeichnet.

Liste der Tutoren:

Allgemeines: Die Tutorien beginnen erst am 15.04.24.

Übungszettel

Diese Aufgaben werden jeden Freitag (erste Abgabe bis 10:00 am 19.04.24) im Kopierraum im Postfach Ihres Tutors abgegeben und danach korrigiert und bepunktet. In einem drauffolgenden Tutorium werden die Lösungen der Aufgaben von den Studenten vorgestellt.

Sie dürfen zusammen mit einer weiteren Person aus ihrem Tutorium abgeben. Die eingereichte Hausarbeit muss die Namen und die Handschrift beider Studierender enthalten. (Tipp: Finden Sie diesen Partner im ersten Tutorium).

Sonstiges

Sagemath Computer-Algebra-System

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