Lineare Algebra II

• Teil 6 (Seiten 75-83): Bilinearformen
  • 6A Kongruenz von quadratischen Matrizen
  • 6B Symmetrische Bilinearformen
  • 6C Der Dualraum eines Vektorraums mit einer nicht-ausgearteten symmetrischen Bilinearform
  • 6D Positiv definite (reelle) Matrizen
    (Das Minorenkriterium für Positivität. Die Descartes'sche Vorzeichenregel.)
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• Teil 5 (Seiten 59-74): Selbstadjungierte Endomorphismen. Quadriken.
  • 5A Selbstadjungierte Endodomorphismen
  • Einschub: Isotrope und anisotrope Vektoren
  • 5B Hauptachsentransformation
  • 5C Der Trägheitssatz von Sylvester
  • Einschub: Polynome und ihre Nullstellenmengen
  • 5D Quadratische Formen
  • 5E Quadriken
  • 5F Kegelschnitte (Zusatz fürs Allgemeinwissen)
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  Zusätzlich verteilt wurde in der Vorlesung ein Blatt mit Bildern der Quadriken im R³.

• Teil 4 (Seiten 45-58): Bewegungsgruppen
  • 4A Isometrien des Rⁿ.
  • 4B Ebene Bewegungen
  • 4C Einschub über Gruppen. Und: Die endlichen Untergruppen von O(2).
  • 4D Die Translationen in einer diskreten ebenen Bewegungsgruppe
  • 4E Die Symemtriegruppe eines Gitters in der euklid'schen Ebene
  • 4F Die ebenen Kristallgruppen.
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• Teil 3 (Seiten 29-44):
  • 3A Bilinearformen
  • 3B Euklid'sche Vektorräume
  • 3C Orthogonale Endomorphismen
  • 3D Unitäre Räume, unitäre Endomorphismen
  • 3E Orthogonale und unitäre Matrizen
  • 3F Cauchy-Schwarz
  • 3G Spiegelungen
  • 3H Iwasawa-Zerlegung (= QR-Zerlegung)
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• Teil 2 (Seiten 15-28): Faktorraum, Dualraum
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  (in der Vorlesung in zwei Portionen verteilt.)
• Teil 1 (Seiten 1-14): Jordan'sche Normalform
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Lineare Algebra I

• Erste Grundbegriffe
  • Mengen
  • Halbgruppen und Gruppen
  • Ringe
  • Körper
  Als dvi-File, als ps-File, als pdf-File (verteilt am 14.10.2004 in der Vorlesung)

• Die Zeilenstufenform einer Matrix
  Insbesondere wird hier auch die Schubert-Normalform eingeführt
  (manche Bücher geben ihr keinen Namen, sie ist aber wichtig!)
• Das Lösen von linearen Gleichungssystemen
• Invertierbare Matrizen
  Insbsondere: LR-Zerlegung, Bruhat-Zerlegung.
  mit folgendem Haupt-Satz:

  Haupt-Satz. Sei K ein Körper. Jede Matrix A in GL(n,K) kann in der Form A = R'PR = PLR geschrieben werden, dabei ist R eine invertierbare obere Dreiecksmatrix, P eine Permutationsmatrix, R' eine obere Dreiecksmatrix, L eine untere Dreiecksmatrix und alle Diagonalkoeffizienten von R' und L sind gleich 1. Die Faktorisierung A = R'PR heiß Bruhat-Zerlegung von A, die Faktorisierung A = PLR heißt LR-Zerlegung.

• Determinanten
  • Permutationen, Signum,....,
  • Gruppen-Homomorphismen, zum Beispiel sign(-).
  • Leibniz-Formel, Laplace-Entwicklung, komplementäre Matrix...
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• Basen
• Der Rang einer Matrix

• Unterräume

• Lineare Abbildungen
  • Endomorphismen der reellen Ebene
  • Fibonacci-Zahlen

Allgemeiner Hinweis