BIREP — Representations of finite dimensional algebras in Bielefeld
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Ausgewählte Kapitel der Mathematik: Gruppen und Symmetrien (eKVV: 240221 )

Vorlesung mit Übung und Präsenzübung im Wintersemester 2019/20 (4+2+2 SWS)
Dozent: Dr. Julia Sauter, V5-228, jsauter@math.uni-bielefeld.de
ab Jahreswechsel: Dr. Jan Geuenich, V5-228, jgeuenich@math.uni-bielefeld.de
Sprechstunde: Montag 14:00
Vorlesungstermine: erster Termin: 9.10.19, letzter Termin: 31.1.20, keine Vorlesung am: 1.11. (Feiertag) und am 6.11.(auswärtige Einladung des Dozenten)

Inhalt: Symmetrien tauchen natürlich in unserer Welt auf, insbesondere bei mathematischen Objekten. Bei einem Quadrat im 2-dimensionalen Raum verstehen wir darunter Selbstabblidungen des Raumes, die Längen und Winkel erhalten (orthogonale Abbildungen) und das Quadrat auf sich abbilden, zum Beispiel: Drehungen des Quadrates um 90, 180, 270 und 360 Grad und Spiegelungen, an einer der zwei Diagonalen oder Geraden durch Mittelpunkte der Seiten. Verknüpfungen von Symmetrien sind wieder Symmetrien und man kann die Eigenschaften allgemein durch den Begriff einer Gruppe beschreiben. Gruppen begegnen uns nicht nur als Symmetrien von Objekten, sie sind überall in der Mathematik vertreten, zum Beispiel die ganzen Zahlen mit der Addition bilden eine Gruppe. Zudem kann man andere Arten von Symmetrien zulassen, etwa alle bijektiven Abbildungen einer (endlichen) Menge in sich selbst, dies führt zu den symmetrischen Gruppen. Zusammen mit den Symmetrien ist es natürlich auch das Objekt, von dem es die Symmetrien beschreibt, mitzubetrachten. Dies bringt uns zu Gruppenoperationen auf Mengen. So operiert die Symmetriegruppe des Quadrates auf der Menge der Ecken und Kanten des Quadrates. Die symmetrische Gruppe einer Menge operiert auf dieser Menge. Hier kann man nach Fixpunkten der Operation fragen und es gibt interessante Abzählformeln, die auftreten (wie das Lemma von Burnside und Polyas Formel). Zudem kann man Gruppen auch immer auf sich selber operieren lassen, auf diese Art kann man zeigen, dass die Anzahl der Elemente einer Untergruppe immer die Anzahl der Elemente einer Gruppe teilt (Satz von Lagrange) und man kann die tiefliegenden Sätze von Sylow damit verstehen - diese geben Auskunft über die Untergruppen, deren Anzahl Elemente eine maximale Primzahlpotenz ist, die die Anzahl Elemente der Gruppe teilt. Danach kommen wir zurück zu Objekten, die eingebettet im 2-dimensionalen und 3-dimensionalen Raum sind und besonders viele Symmeytrien aufweisen: Regelmässige n-Ecke und Polyeder (platonische Körper, siehe Bilder unten). Von diesen berechnen wir die Symmetriegruppen.
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