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Fortsetzung von Analysis I
07.04.2025 - 18.07.2025
1.Klausur: Fr 25.07.2025
10:00-12:00 H4
2.Klausur: Do 09.10.2024 10:00-12:00 H4
Mi 10:15-11:45 H5 und Fr 12:15-13:45 H4
Jedes
Übungsblatt enthält 4 Pflichtaufgaben
und 1-2 mit * gekennzeichnete Zusatzaufgaben.
Insgesamt erhalten Sie 13 Übungsblätter. Sie müssen Ihre Lösungen
fristgerecht beim Tutor abgeben.
Gruppenabgaben sind nicht zulässig.
Für die Lösung jeder Aufgabe erhalten Sie maximal 12 Punkte.
Ihr Ergebnis für
Hausaufgaben errechnet sich als
A/M, wobei A die Gesamtpunktzahl ist
die Sie für alle Ihre Lösungen (für Pflicht- und Zusatzaufgaben) erhalten,
und
M die maximale Punktzahl für Pflichtaufgaben ist (also M=4*13*12=624).
Um
eine Studienleistung (und somit auch Zulassung zur Klausur) zu bekommen,
muss Ihr Ergebnis
mindestens 50% betragen.
Darüber hinaus müssen Sie in Tutotium zwei Mal
vorrechnen.
Blatt 0
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3 Abgabe bis 02.05 12:00
Blatt 4 Abgabe bis 09.05 12:00
Blatt 5 Abgabe bis 16.05 12:00
(Die Kapitel 1-7 sind in Analysis I)
8.
Differentialrechnung
(Fortsetzung)
Rechenmethoden von Ableitungen: Rechenregeln, Kettenregel, Ableitung der inversen
Funktion.
Sätze von Fermat, Rolle und Lagrange (Mittelwertsatz).
Kritische Punkte einer Funktion.
Konstantentest und Monotonietest.
Vergleichstest und Ungleichungen.
Unbestimmte Ausdrücke und Regel von L'Hôspital.
Landau-Symbol und Differential.
Zweite
Ableitung. Taylorformeln 2er Ordnung mit der Restgliedform nach Peano und
Lagrange.
Lokale Extrema, notwendige und hinreichende Bedingungen.
Konvexe und Konkave
Funktionen. Test für Konvexität/Konkavität mit Hife von zweiter
Ableituing.
Untersuchung einer Funktion mit Hilfe von Ableitungen und Skizzieren des
Graphes.
Taylorformeln n-er Ordnung mit der Restgliedform nach Peano und
Lagrange.
9. Integralrechnung: unbestimmtes
Integral.
Stammfunktion und unbestimmtes Integral.
Unbestimmte Konstante bei
Stammfunktion.
Grundintegrale.
Linearität der Integration. Partielle Integration.
Substitutionsregel für unbestimmtes Integral.
Integrieren von
rationalen Funktionen mit Hilfe von Partialbruchzerlegung.
10. Integralrechnung: bestimmtes
Integral.
Riemann-Summen und Riemann-Integral. Obere
und untere Darboux-Summen.
Kriterien von Riemann-Integrierbarkeit.
Intergierbarkeit von stetigen und monotonen Funktionen.
Flächeninhalt eines
Untergraphes.
Fundamentalsatz der Analysis: Newton-Leibniz-Formel.
Linearität, Partielle
Integration und Additivität für Riemann-Integral.
Ungleichungen und Integration. Mittelwertsatz für
Integration.
Fundamentalsatz der Analysis: Existenz der Stammfunktion für stetige Funktionen.
Substitutionsregel für
Riemann-Integral.
Taylorformel mit Integralrestglied.
Parametrisierte Kurve in Rn. Die Länge
von Kurve.
Unabhängigkeit der Länge von Parametrisierung.
Kurven in Polarkoordinaten.
*Wallis-Produkt. *Stirling-Formel.
11. Metrische Räume und stetige
Abbildungen.
Abstandsfunktion und Begriff von metrischem Raum.
Normierte Vektorräumen.
Hölder-Ungleichung und Minkowski-Ungleichung. Normen in Rn.
Metrische Kugel. Konvergenz von Folgen in
metrischen Räumen.
Stetige Abbildungen.
Offene und
abgeschlossene Mengen. Begriff von Topologie.
Stetige Urbilder offener und abgeschlossener Mengen.
Cauchy-Folgen. Vollständige metrische Räume.
Vollständigkeit von Rn und C[a,b].
Fixpunktsatz von Banach.
Offene Überdeckungen und kompakte
Mengen.
Stetige Bilder kompaker Mengen.
Folgenkompaktheit. Totalbeschränktheit.
Äquivalente Bedingungen für Kompaktheit im vollständigen metrischen Raum.
Kompakte
Mengen in Rn.
Extremwertsatz.
Fundamentalsatz
der Algebra.
Zusammenhängende Mengen. Zwischenwertsatz.
*Vervollständigung von metrischen Räumen.
*p-adische Zahlen.
*Lebesgue-integrierbare Funktionen
12. Differentialrechnung in Rn.
Partielle Ableitungen. Totaler Differential. Jacobi-Matrix.
Stetige
Differenzierbarkeit.
Linearität und Kettenregel für totale und partielle
Ableitungen.
Ableitung der inversen Funktion.
Richtungsableitung und Mittelwertsatz.
Partielle Ableitungen höherer Ordnung. Satz von Schwarz.
Taylorformel.
Hesse-Matrix.
Notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale
Extrema.
Satz von der impliziten Funktion.
Satz von der inversen
Funktion.
Parameterintegral.
13*. Konvergenz von Integralen.
Uneigentliches Riemann-Integral.
Die Newton-Leibniz-Formel.
Partielle Integration. Substitutionsregel für uneigentliche Integrale.
Integralkriterium für Konvergenz von Reihen.
Absolute und bedingte Konvergenz von Integralen.
Majoranten- und Vergleichskriterien für
absolute Konvergenz.
Abel- und Dirichlet-Kriterien für bedingte Konvergenz.
Gammafunktion. Dirichlet-Integral.
*Alternative Definition von Elementarfunktionen.
14*. Konvergenz von Funktionenreihen.
Funktionenfolgen und Funktionenreihen. Gleichmäßige Konvergenz.
Weierstraßsches Majorantenkriterium
für gleichmäßige Konvergenz.
Konvergenz von Potenzreihen.
Konvergenzradius.
Formel von Cauchy-Hadamard.
Satz von Abel.
Integrieren und Ableiten unter
gleichmäßiger Konvergenz.
Integrieren und Ableiten von den Potenzreihen.
Taylorreihe. Binomische Reihe.
Sätze von der majorisierten und monotonen Konvergenz.
Gauss-Integral.
Approximationssatz von Weierstraß.
*Fourier Reihen.
15*. Flächen in Rn .
Parametrische Gleichung einer Fläche.
Graphen als Flächen.
Tangentialebene.
Implizite Flächen.
17*. Analysis und Topologie der Ebene
Holomorphe und harmonische Funktionen.
Maximum-Prinzip und Fundamentalsatz der Algebra.
Kurvenintegral und Windungszahl.
Alternative Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra.
Fixpunktsatz von Brouwer.
Das Komplement einer abgeschlossenen Kurve.
und viele andere ...