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Fortsetzung von Analysis I
07.04.2025 - 18.07.2025
Die folgenden Studierenden bekommen Studienleistung und Zulassung zur Klausur: pdf
1.Klausur: Fr 25.07.2025
10:00-12:00 H4
Klausurnoten
2.Klausur: Do 09.10.2024 10:00-12:00 H4
Klausurnoten
Gesamttabelle
von Ableitungen und Integralen
(wird zusammen mit Klausuraufgaben gegeben)
Mi 10:15-11:45 H5 und Fr 12:15-13:45 H4
Zusammenfassung von Vorlesungsskript (ohne Beweise)
Jedes
Übungsblatt enthält 4 Pflichtaufgaben
und 1-2 mit * gekennzeichnete Zusatzaufgaben.
Insgesamt erhalten Sie 13 Übungsblätter. Sie müssen Ihre Lösungen
fristgerecht beim Tutor abgeben.
Gruppenabgaben sind nicht zulässig.
Für die Lösung jeder Aufgabe erhalten Sie maximal 12 Punkte.
Ihr Ergebnis für
Hausaufgaben errechnet sich als
A/M, wobei A die Gesamtpunktzahl ist
die Sie für alle Ihre Lösungen (für Pflicht- und Zusatzaufgaben) erhalten,
und
M die maximale Punktzahl für Pflichtaufgaben ist (also M=4*13*12=624).
Um
eine Studienleistung (und somit auch Zulassung zur Klausur) zu bekommen,
muss Ihr Ergebnis
mindestens 50% betragen.
Darüber hinaus müssen Sie in Tutotium zwei Mal
vorrechnen.
Blatt 0
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11
Blatt 12
Blatt 13
Blatt 14
(Die Kapitel 1-7 sind in Analysis I)
8.
Differentialrechnung
(Fortsetzung)
Rechenmethoden von Ableitungen: Rechenregeln, Kettenregel, Ableitung der inversen
Funktion.
Sätze von Fermat, Rolle und Lagrange (Mittelwertsatz).
Kritische Punkte einer Funktion.
Konstantentest und Monotonietest.
Vergleichstest und Ungleichungen.
Unbestimmte Ausdrücke und Regel von L'Hôspital.
Landau-Symbol und Differential.
Zweite
Ableitung. Taylorformeln 2er Ordnung mit der Restgliedform nach Peano und
Lagrange.
Lokale Extrema, notwendige und hinreichende Bedingungen.
Konvexe und Konkave
Funktionen. Test für Konvexität/Konkavität mit Hife von zweiter
Ableituing.
Untersuchung einer Funktion mit Hilfe von Ableitungen und Skizzieren des
Graphes.
Taylorformeln n-er Ordnung mit der Restgliedform nach Peano und
Lagrange.
9. Integralrechnung: unbestimmtes
Integral.
Stammfunktion und unbestimmtes Integral.
Unbestimmte Konstante bei
Stammfunktion.
Grundintegrale.
Linearität der Integration.
Partielle Integration.
Substitutionsregel für unbestimmtes Integral.
Integrieren von
rationalen Funktionen mit Hilfe von Partialbruchzerlegung.
10. Integralrechnung: bestimmtes
Integral.
Riemann-Summen und Riemann-Integral.
Flächeninhalt von Untergraphen.
Fundamentalsatz der Analysis: Newton-Leibniz-Formel.
Linearität, Partielle
Integration und
Substitutionsregel.
Parametrisierte Kurve in Rn. Die Länge
von Kurve.
Kurven in Polarkoordinaten.
Unabhängigkeit der Länge von Parametrisierung.
Obere
und untere Darboux-Summen.
Kriterien von Riemann-Integrierbarkeit.
Intergierbarkeit von stetigen und monotonen Funktionen.
Ungleichungen und Integration.
Mittelwertsatz für
Integration.
Additivität für Riemann-Integral.
Fundamentalsatz der Analysis: Existenz der Stammfunktion für stetige Funktionen.
Taylorformel mit Integralrestglied.
Uneigentliches Riemann-Integral.
Newton-Leibniz-Formel und Rechenregeln für uneigentliche Integrale.
Integralkriterium für Konvergenz von Reihen.
Absolute Konvergenz von Integralen.
Majoranten- und Vergleichskriterien für
absolute Konvergenz.
*Wallis-Produkt. *Stirling-Formel.
11. Metrische Räume und stetige
Abbildungen.
Abstandsfunktion und Begriff von metrischem Raum.
Normierte Vektorräumen.
Hölder-Ungleichung und Minkowski-Ungleichung. Normen in Rn.
Metrische Kugel. Konvergenz von Folgen in
metrischen Räumen.
Stetige Abbildungen.
Offene und
abgeschlossene Mengen. Begriff von Topologie.
Stetige Urbilder offener und abgeschlossener Mengen.
Cauchy-Folgen. Vollständige metrische Räume.
Vollständigkeit von Rn und C[a,b].
Fixpunktsatz von Banach.
Offene Überdeckungen und kompakte
Mengen.
Stetige Bilder kompaker Mengen.
Folgenkompaktheit. Totalbeschränktheit.
Äquivalente Bedingungen für Kompaktheit im vollständigen metrischen Raum.
Kompakte
Mengen in Rn.
Extremwertsatz.
Fundamentalsatz
der Algebra.
* Zusammenhängende Mengen. Zwischenwertsatz.
* Vervollständigung von metrischen Räumen.
* p-adische Zahlen.
* Lebesgue-integrierbare Funktionen
12. Differentialrechnung in Rn.
Partielle Ableitungen. Jacobi-Matrix. Totale Ableitung.
Stetige
Differenzierbarkeit.
Kettenregel für totale und partielle
Ableitungen.
Ableitung der inversen Abbildung.
Partielle Ableitungen höherer Ordnung. Satz von Schwarz.
Hesse-Matrix.
Notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale
Extrema.
Satz von der impliziten Funktion.
Satz von der inversen
Funktion.
* Parameterintegral.
* Taylorformel.
13*. Konvergenz von Integralen.
Bedingte Konvergenz.
Abel- und Dirichlet-Kriterien für bedingte Konvergenz.
Gammafunktion. Dirichlet-Integral.
Alternative Definition von Elementarfunktionen.
Funktionenfolgen und Funktionenreihen. Gleichmäßige Konvergenz.
Weierstraßsches Majorantenkriterium für gleichmäßige Konvergenz.
Konvergenz von Potenzreihen.
Konvergenzradius.
Formel von Cauchy-Hadamard.
Satz von Abel.
Integrieren und Ableiten unter
gleichmäßiger Konvergenz.
Integrieren und Ableiten von den Potenzreihen.
Taylorreihe. Binomische Reihe.
Sätze von der majorisierten und monotonen Konvergenz.
Gauss-Integral.
Approximationssatz von Weierstraß.
Fourier Reihen.
14*. Flächen in Rn .
Parametrische Gleichung einer Fläche.
Funktionsgraphen als Flächen.
Tangentialebene.
Implizite Flächen.
15*. Analysis und Topologie der Ebene
Holomorphe und harmonische Funktionen.
Maximum-Prinzip.
Kurvenintegral und Windungszahl.
Alternative Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra.
Fixpunktsatz von Brouwer.
Das Komplement einer abgeschlossenen Kurve.
und viele andere ...