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Analysis  I  WS 2024/25 (240003)

07.10.2024- 31.01.2025 

Klausur

Die folgenden Studierenden bekommen Studienleistung und Zulassung zur Klausur: pdf

1.Klausur: Freitag  7.02.2025  16:00-18:00 im H1
2.Klausur: Freitag  4.04.2025  10:00-12:00 im H4

1.Klausur Noten

Probeklausur 

Vorlesungen

Mi 10:15-11:45 im H1  und  Fr 12:15-13:45 im H7

Vorlesungsskript

Zusammenfassung von Vorlesungsskript (ohne Beweise)

Axiome der reellen Zahlen

Hausaufgaben

Jedes Übungsblatt (außer Blatt 0) enthält 4 Pflichtaufgaben und 1-2 mit * gekennzeichnete Zusatzaufgaben. 
Insgesamt erhalten Sie 13 Übungsblätter. Sie müssen Ihre Lösungen fristgerecht beim Tutor abgeben. 
Gruppenabgaben sind nicht zulässig
.
Für die Lösung jeder Aufgabe erhalten Sie maximal 12 Punkte. 
Ihr Ergebnis für Hausaufgaben errechnet sich als A/M, wobei A die Gesamtpunktzahl ist 
die Sie für alle Ihre Lösungen (für Pflicht- und Zusatzaufgaben) erhalten, 
und M die maximale Punktzahl für Pflichtaufgaben ist (also M=4*13*12=624).

Um eine Studienleistung (und somit auch Zulassung zur Klausur) zu bekommen, 
muss Ihr Ergebnis mindestens 50% betragen. 
Darüber hinaus müssen Sie in Tutotium zwei Mal vorrechnen.  

Blatt 0
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3  
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Blatt 11
Blatt 12  
Blatt 13
Blatt 14

Inhaltsverzeichnis

1. Mengen und reelle Zahlen
Grundbegriffe der Mengenlehre. Mengenoperationen. Elemente der Mathemematischen Logik. 
Abbildungen, Urbildabbildung. Komposition von Abbildungen. Die inverse Abbildung.  
Axiomensystem von reellen Zahlen. Folgerungen aus den Axiomen.
Intervalle. Supremum und Infimum. 
Existenz von Quadratwurzel.

2. Ganze Zahlen und vollständige Induktion
Natürliche Zahlen. Vollständige Induktion (Induktionsprinzip). 
Endliche Folgen. Endliche Summen und Produkte.  
Ganze Zahlen. Archimedisches Prinzip. 
Binomischer Lehrsatz. 
Rationale Zahlen. 
Endliche Mengen, Kardinalität, Schubfachprinzip. 
Kardinalzahlen unendlicher Mengen. Abzählbare und Überabzählbare Mengen. 
*Zahlensystem: q-adische Darstellung natürlicher Zahlen.

3. Komplexe Zahlen
Die Menge von komplexen Zahlen. Addition und Multiplikation komplexer Zahlen. 
Konjugation und Betrag. Division komplexer Zahlen. 
*Funktionen und ihre Graphen auf der Ebene. 
*Begriff von Winkel und Geometrie der Ebene. 

4. Folgen und Grenzwerte
Konvergenz von Folgen und Grenzwert (Limes). Rechenregeln für den Grenzwert. 
Monotoniekriterium für Existenz des Grenzwertes. 
Cauchy-Kriterium von Konvergenz. 
Limes superior und Limes inferior.
Teilfolgen und Satz von Bolzano-Weierstraß. 
Operationen mit ±∞
und unbestimmte Ausdrücke.
Komplexwertige Folgen.
Intervallschachtelungsprinzip.
*Überdeckungssatz.  

5. Reihen
Konvergenz von Reihen. Nichtnegative Reihen. Geometrische Reihe. 
Komplexwertige Reihen. Allgemeine Konvergenzkriterien. Majorantenkriterium. 
Absolute Konvergenz. Quotientenkriterium. 
Exponentialfunktion als die Summe der Exponentialreihe. Die Zahl e
Haupteigenschaft der Exponentialfunktion und Folgerungen. 
Hyperbelfunktionen. Trigonometrische Funktionen. 
Eulerformel. Additionstheoreme.
Bedingte Konvergenz und Leibniz-Kriterium. 
*Alternative Definition der Exponentialfunktion.
*Kommutativ und Assoziativgesetze für die Reihen.  
*Cauchy-Produkt zweier Reihen. 
*Zahlensystem: q-adische Brüche und q-adische Darstellung der reellen Zahlen. 

6. Stetige Funktionen 
Grenzwert einer Funktion. Beziehung zur Grenzwert von Folgen. 
Rechenregeln f
ür Limes. Limes einer zusammengesetzten Funktion.
Stetigkeit von Funktionen. Eigenschaften von stetigen Funktionen: Zwischenwertsatz, Extremwertsatz. 
Monotone Funktionen. Existenz der inversen Funktion. 
Die n-te Wurzel. Natürlicher Logarithmus. 
Exponentialfunktion und Logarismus zur positiven Basis. 
Die Zahl π und Periodizität von Sinus und Kosinus. 
Inverse trigonometrische Funktionen. 
*Trigonometrische Form komplexer Zahlen. Polarkoordinaten. 
*Numerische Berechnung von π.

7. Differentialrechnung
Begriff von Ableitung. Ableitungen von elementaren Funktionen. 
Tangente und Geschwindigkeit. 
Rechenregeln für Ableitungen. 
Kettenregel. 
Ableitung der inversen Funktion. 
Logarithmische Ableitung


Fortsetzung in Analysis 2 

Lehrbücher der Analysis

  1. H. Amann, J. Escher, Analysis I. Birkhäuser
  2. Ch. Blatter Analysis I. Springer-Verlag.
  3. Th. Bröcker Analysis I. Spectrum Akademischer Verlag.
  4. K. Endl & W. Luh  Analysis I. Eine integrierte Darstellung. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main.
  5. O. Forster, Analysis I. Verlag Vieweg.
  6. H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1. Vieweg+Teubner
  7. S. Hildebrandt, Analysis 1. Springer
  8. Theo de Jong, Analysis. Pearson
  9. S. Lang, Analysis. Vol. 1. Addison-Wesley.
  10. F. Modler, M. Kreh, Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1. Spektrum
  11. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass Analysis 1. Pearson.  
  12. V.A. Zorich Analysis I. Springer-Verlag.

und viele andere ...