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07.10.2024- 31.01.2025
1.Klausur:
Freitag 7.02.2025 16:00-18:00 im Audimax
2.Klausur: Freitag 4.04.2025 10:00-12:00 im Audimax
Mi 10:15-11:45 im H1 und Fr 12:15-13:45 im H7
Jedes
Übungsblatt (außer Blatt 0) enthält 4 Pflichtaufgaben
und einige mit * gekennzeichnete Zusatzaufgaben.
Insgesamt erhalten Sie 13 Übungsblätter. Sie müssen Ihre Lösungen
fristgerecht beim Tutor abgeben. Gruppenabgaben sind nicht zulässig.
Für die Lösung jeder Aufgabe erhalten Sie maximal 12 Punkte. Ihr Ergebnis für
Hausaufgaben errechnet sich als
A/M, wobei A die Gesamtpunktzahl die Sie für alle Ihre Lösungen
erhalten (inklusive Zusatzaufgaben) und
M die maximale Punktzahl für Pflichtaufgaben (also M=4*13*12=624).
Um
eine Studienleistung (und somit auch Zulassung zur Klausur) zu bekommen, muss Ihr Ergebnis
mindestens 50% betragen. Darüber hinaus müssen Sie in Tutotium zwei Mal
vorrechnen.
Blatt 0
Blatt 1
Blatt 2
Blatt
3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7 - Abgabe bis
29.11.2024
Blatt 8 - Abgabe bis
06.12.2024
Blatt 9 - Abgabe bis
13.12.2024
1. Mengen und reelle Zahlen
Grundbegriffe der Mengenlehre. Mengenoperationen. Elemente der
Mathemematischen Logik.
Abbildungen, Urbildabbildung. Komposition von Abbildungen. Die inverse Abbildung.
Axiomensystem von reellen Zahlen. Folgerungen aus den Axiomen.
Intervalle. Supremum und Infimum.
Existenz von Quadratwurzel.
2. Ganze Zahlen und vollständige Induktion
Natürliche Zahlen. Vollständige Induktion (Induktionsprinzip).
Endliche Folgen. Endliche Summen und Produkte.
Ganze Zahlen. Archimedisches Prinzip.
Binomischer Lehrsatz.
Rationale Zahlen.
Endliche Mengen, Kardinalität,
Schubfachprinzip.
Kardinalzahlen unendlicher Mengen.
Abzählbare und Überabzählbare Mengen.
*Zahlensystem: q-adische Darstellung natürlicher Zahlen.
3. Komplexe Zahlen
Die Menge von komplexen Zahlen. Addition und Multiplikation komplexer Zahlen.
Konjugation und Betrag. Division
komplexer Zahlen.
Funktionen und ihre Graphen auf der Ebene.
*Begriff von Winkel und
Geometrie der Ebene.
4. Folgen und Grenzwerte
Konvergenz von Folgen und Grenzwert (Limes). Rechenregeln für den Grenzwert.
Monotoniekriterium für Existenz des Grenzwertes.
Intervallschachtelungsprinzip
und Überdeckungssatz.
Teilfolgen und Satz von Bolzano-Weierstraß.
Cauchy-Kriterium von Konvergenz.
Limes superior und Limes inferior.
Komplexwertige Folgen.
5. Reihen
Konvergenz von Reihen. Nichtnegative Reihen. Geometrische Reihe.
Komplexwertige Reihen. Allgemeine Konvergenzkriterien.
Majorantenkriterium.
Absolute Konvergenz. Quotientenkriterium.
Bedingte Konvergenz und Leibniz-Kriterium.
*Zahlensystem:
q-adische Brüche und q-adische Darstellung der reellen Zahlen.
*Cauchy-Produkt zweier Reihen. *Kommutativ und Assoziativgesetze für die Reihen.
6. Exponentialfunktion
Exponentialfunktion als die Summe der Exponentialreihe. Die Zahl e.
Alternative Definition der Exponentialfunktion. Haupteigenschaft der Exponentialfunktion und Folgerungen.
Hyperbelfunktionen. Trigonometrische Funktionen. Eulerformel. Additionstheoreme.
*Alternativer Beweis der Haupteigenschaft.
7. Stetige Funktionen
Grenzwert einer Funktion. Beziehung zur Grenzwert von Folgen. Rechenregeln für
Limes. Limes einer zusammengesetzten Funktion.
Stetigkeit von Funktionen. Eigenschaften von stetigen Funktionen: Zwischenwertsatz, Extremwertsatz.
Monotone Funktionen.
Existenz der inversen Funktion. Die n-te Wurzel. Natürlicher Logarithmus.
Exponentialfunktion
und Logarismus zur
positiven Basis.
Die Zahl π und die Nullstellen von Sinus und Kosinus. Inverse trigonometrische Funktionen.
Trigonometrische Form komplexer Zahlen. Polarkoordinaten.
*Numerische
Berechnung von π.
8. Differentialrechnung
Begriff von Ableitung. Ableitungen von elementaren Funktionen. Tangente und
Geschwindigkeit.
Rechenregeln für Ableitungen, Leibnizregel, Kettenregel.
Ableitung der inversen Funktion.
Sätze von Fermat, Rolle und Lagrange (Mittelwertsatz).
Kritische Punkte einer Funktion. Konstantentest und Monotonietest.
Unbestimmte Ausdrücke und Regel von l'Hôspital.
Landau-Symbol und Differential.
Zweite
Ableitung. Taylorformeln 2er Ordnung mit der Restgliedform nach Peano und
Lagrange.
Lokale Extrema, notwendige und hinreichende Bedingungen.
Konvexe und Konkave
Funktionen. Test für Konvexität/Konkavität mit Hife von zweiter
Ableituing.
Untersuchung einer Funktion mit Hilfe von Ableitungen und Skizzieren des
Graphes.
Vergleichstest und Ungleichungen.
Fortsetzung in Analysis 2
und viele andere ...